Wagner and Pruss (2002)の(2.21)式
\[\begin{equation}
\ln\left(\frac{P}{P_t}\right)
=a_1(1-\theta^{-1.5})+a_2(1-\theta^{-1.25})
\label{eq.P}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\theta=\frac{T}{T_t}
\label{eq.theta}
\end{equation}\]
により相境界の圧力\(P\)を計算する。
ここで\(T_t\), \(P_t\)は
水の3重点の温度・圧力
であり、係数\(a_1\), \(a_2\)は下表の通り与える。
Compute the pressure \(P\) on the phase boundary
using Eqs. (\ref{eq.P}) and (\ref{eq.theta})
that are from Eq. (2.21) of Wagner and Pruss (2002),
where \(T_t\) and \(P_t\) are
the temperature and pressure of the triple point of water, respectively,
and the coefficients \(a_1\) and \(a_2\) are given in the table below.
係数
Coefficient
値
Value
\(a_1\)
-13.928169
\(a_2\)
34.7078238
この関数では氷Iと気体の相境界の圧力を求めるのであるから
昇華が起きる温度圧力条件でなければならず、
そのためには温度は\(T \leq T_t\)を満たさなければならない。
Because this function computes the pressure on the boundary
between the ice I and gas phases,
the temperature and pressure must be in the range
where the sublimation occurs.
This requirement leads to a condition for the temperature \(T \leq T_t\).
Wagner and Pruss (2002)では
(\ref{eq.P})式が適用できる温度の下限については明示されていない。
同論文の図2.1に示されているのは\(T\geq 200\) [K]の範囲であり、
この温度範囲において相境界は\(dP/dT>0\)になっている(下に示す図1参照)。
極端な低温になると(\ref{eq.P})式から計算される圧力は
\(dP/dT<0\)となって図1のイメージと合わなくなる。
更に温度を下げると相境界の圧力が著しく増大し、
\(T\rightarrow 0\)の極限で\(P\rightarrow\infty\)となる。
The lower limit temperature for the valid range of Eq. (\ref{eq.P})
is not clear in Wagner and Pruss (2002).
Fig. 2.1 of that paper shows a temperature range \(T\geq 200\) [K];
see Fig. 1 below.
In this temperature range,
\(dP/dT>0\) holds along the phase boundary.
At an extremely low temperature,
the presure computed from Eq. (\ref{eq.P})
increases by decreasing temperature (\(dP/dT < 0\));
this sign is not consistent with Fig. 1.
Further lowering the temperature results in
a significant increase in the pressure along the phase boundary.
At the limit of \(T\rightarrow 0\),
the pressure grows to infinity (\(P\rightarrow\infty\))
according to Eq. (\ref{eq.P}).
図1. IAPWS-95に基づく水の相図。 Fig. 1. The phase diagram of water based on IAPWS-95.
この関数では\(dP/dT>0\)が成り立つ温度範囲を
(\ref{eq.P})式の適用可能範囲と考える。
\(X\equiv \ln(P/P_t)\)とおくと\(dP/dT\)と\(dX/d\theta\)は同符号である。
この\(X\)を用いて(\ref{eq.P})式は
\[\begin{equation}
X=a_1(1-\theta^{-1.5})+a_2(1-\theta^{-1.25})
\label{eq.X}
\end{equation}\]
と書き直せる。これより
\[\begin{equation}
\frac{dX}{d\theta}
=1.5a_1\theta^{-2.5}+1.25a_2\theta^{-2.25}
\label{eq.dXdtheta}
\end{equation}\]
であり、\(dX/d\theta > 0\)となるのは
\[\begin{equation}
1.5a_1\theta^{-2.5}+1.25a_2\theta^{-2.25} > 0
\label{eq.positive_dXdtheta.condition}
\end{equation}\]
すなわち
\[\begin{equation}
\theta^{0.25} > -\frac{1.5a_1}{1.25a_2}=-\frac{6a_1}{5a_2}
\label{eq.positive_dXdtheta.solution}
\end{equation}\]
の温度範囲である。温度について明示的に解くと
\[\begin{equation}
T=T_t\theta > T_t \left(-\frac{6a_1}{5a_2}\right)^4
\sim 14.695
\mbox{ [K]}
\label{eq.positive_dPdT.solution}
\end{equation}\]
となる。
This function assumes that
Eq. (\ref{eq.P}) is valid for a temperature range
where \(dP/dT>0\).
Let us introduce \(X\equiv \ln(P/P_t)\).
Then the signs of \(dP/dT\) and \(dX/d\theta\) are identical.
Using this \(X\), Eq. (\ref{eq.P}) is rewritten as (\ref{eq.X}),
and its differentiation is (\ref{eq.dXdtheta}).
A condition for \(dX/d\theta > 0\) is thus
(\ref{eq.positive_dXdtheta.condition}),
which can be solved for \(\theta\) as
(\ref{eq.positive_dXdtheta.solution}).
The corresponding temperature range is calculated as
Eq. (\ref{eq.positive_dPdT.solution}).
結論として、
\[\begin{equation}
T_t\left(-\frac{6a_1}{5a_2}\right)^4 < T \leq T_t
\label{eq.T.condition}
\end{equation}\]
がこの関数を適用可能な温度範囲となる。
この条件が満たされない場合はプログラムをエラー終了する。
In conclusion,
Eq. (\ref{eq.T.condition}) gives the valid temperature range
for this function.
If this requirement is not satisfied,
the program finishes as an error.
