関数eqsol3 マニュアル

(The documentation of function eqsol3)

Last Update: 2021/11/30

◆機能・用途(Purpose)

3次方程式

\begin{matrix} (1) & a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0) \end{matrix}

の解を求める。
Calculate the solution of a cubic equation (

1

◆形式(Format)

#include <equation.h>
inline struct im ∗eqsol3
(const double a,const double b,const double c,const double d)

◆引数(Arguments)

a	$x^{3}$ の係数。 The coefficient of $x^{3}$ .
b	$x^{2}$ の係数。 The coefficient of $x^{2}$ .
c	$x$ の係数。 The coefficient of $x$ .
d	方程式の定数項。 The constant term of the equation.

◆戻り値(Return value)

3次方程式(

1

)の3つの解(複素数)を並べた配列を関数内で作成し、その先頭アドレスを返す。
The first address of an array created in this function which consists of the three solutions (complex numbers) of eq. (

1

◆使用例(Example)

struct im ∗solution=eqsol3(1.2,3.4,5.6,7.8);

◆計算式とアルゴリズム (Formula and algorithm)

1. $a = 0$ の判定と処理 (Judgement and processings for $a = 0$ )

a = 0

のときは2次方程式として解くことも可能であるが、気づかず意図しない結果を生じるのを防ぐために

a = 0

の場合はエラー終了する仕様にしている。
Although it is possible to solve a quadratic equation in case of

a = 0

, this function treats

a = 0

as an error to avoid obtaining unexpected results without awaring it.

a = 0

であるか否かの判定には関数doublecmpを使用し、

a

と

max {| b |, | c |, | d |}

の比較によって判定している。
Function doublecmp is used for the judgement of

a = 0

, where

a

is compared with

max {| b |, | c |, | d |}

2. $a \neq 0$ のときの解 (Solution in case of $a \neq 0$ )

3次方程式(

1

)の解

x^{0}

x^{1}

x^{2}

は以下のように与えられる。

\begin{matrix} (2) & x^{m} = \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (2 θ_{2} - θ_{1} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (2 θ_{1} - θ_{2} + 2 m π) / 3} - \frac{b}{3 a} (m = 0, 1, 2) \end{matrix}

ここで

r_{1}

θ_{1}

r_{2}

θ_{2}

は以下の式によって定義される。

\begin{matrix} (3) & A \equiv \frac{3 a c - b^{2}}{3 a^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & B \equiv \frac{2 b^{3} - 9 a b c + 27 a^{2} d}{27 a^{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & C \equiv \frac{B^{2}}{4} + \frac{A^{3}}{27} \equiv R e^{i ϕ} (R \geq 0; - π < ϕ \leq π) \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & D_{1} \equiv - \frac{B}{2} + \sqrt{R} e^{i ϕ / 2} \equiv r_{1} e^{i θ_{1}} (r_{1} \geq 0; - π < θ_{1} \leq π) \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & D_{2} \equiv - \frac{B}{2} - \sqrt{R} e^{i ϕ / 2} \equiv r_{2} e^{- i θ_{2}} (r_{2} \geq 0; - π < θ_{2} \leq π) \end{matrix}

The three solutions

x^{0}

x^{1}

, and

x^{2}

for the cubic equation of (

1

) are given by eq. (

2

), where

r_{1}

θ_{1}

r_{2}

, and

θ_{2}

are defined by eqs (

3

)-(

7

解の導出 (Derivation of the solutions)

解(

2

)の導出過程は以下の通り。
The solution (

2

) is obtained as follows.

方程式(

1

)の両辺を

a

で割って

\begin{matrix} (8) & x^{3} + \frac{b}{a} x^{2} + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0 \end{matrix}

この式の左辺は

\begin{matrix} (9) & {(x + \frac{b}{3 a})}^{3} + \frac{3 a c - b^{2}}{3 a^{2}} (x + \frac{b}{3 a}) + \frac{2 b^{3} - 9 a b c + 27 a^{2} d}{27 a^{3}} \end{matrix}

と変形できるので、定数

A

B

を(

3

)(

4

)のようにおき、

\begin{matrix} (10) & X \equiv x + \frac{b}{3 a} \end{matrix}

と変数変換すれば

\begin{matrix} (11) & X^{3} + A X + B = 0 \end{matrix}

を得る。これを解くために更に

\begin{matrix} (12) & X = Y - \frac{A}{3 Y} \end{matrix}

と変数変換すると

\begin{matrix} (13) & X^{3} = Y^{3} - \frac{A^{3}}{27 Y^{3}} - A (Y - \frac{A}{3 Y}) = Y^{3} - \frac{A^{3}}{27 Y^{3}} - A X \end{matrix}

であるので、これらを(

11

)式に代入して整理すれば

\begin{matrix} (14) & Y^{6} + B Y^{3} - \frac{A^{3}}{27} = 0 \end{matrix}

が得られる。
Dividing the both sides of eq. (

1

) by

a

results in eq. (

8

), and the left hand side of this equation is arranged as (

9

). Defining constants

A

and

B

as eqs (

3

)(

4

) and converting the variable from

x

X

as (

10

) yield (

11

). A further conversion of the variable from

X

Y

as (

12

) gives eq. (

13

). Inserting eq. (

11

) into (

13

), one finally obtains (

14

).

(

14

)式は

Y^{3}

についての2次方程式になっており、その解は

\begin{matrix} (15) & Y^{3} = \frac{- B \pm \sqrt{B^{2} + \frac{4 A^{3}}{27}}}{2} = - \frac{B}{2} \pm \sqrt{\frac{B^{2}}{4} + \frac{A^{3}}{27}} \end{matrix}

と書ける。

\begin{matrix} (16) & C \equiv \frac{B^{2}}{4} + \frac{A^{3}}{27} \end{matrix}

とおき、この

C

を

\begin{matrix} (17) & C = R e^{i ϕ} (R \geq 0; - π < ϕ \leq π) \end{matrix}

と極座標表示すれば(

15

)は

\begin{matrix} (18) & Y^{3} = - \frac{B}{2} \pm \sqrt{R} e^{i ϕ / 2} \end{matrix}

と書き直せる。

Y^{3}

に関するこれら2つの解を

\begin{matrix} (19) & D_{1} \equiv - \frac{B}{2} + \sqrt{R} e^{i ϕ / 2} \end{matrix}

\begin{matrix} (20) & D_{2} \equiv - \frac{B}{2} - \sqrt{R} e^{i ϕ / 2} \end{matrix}

とおき、これらを

\begin{matrix} (21) & D_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}} (r_{1} \geq 0; - π < θ_{1} \leq π) \end{matrix}

\begin{matrix} (22) & D_{2} = r_{2} e^{- i θ_{2}} (r_{2} \geq 0; - π < θ_{2} \leq π) \end{matrix}

と極座標表示すると、

Y

に関する解として

\begin{matrix} (23) & Y = Y_{1}^{m}, Y_{2}^{m} (m = 0, 1, 2) \end{matrix}

\begin{matrix} (24) & Y_{1}^{m} \equiv \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (θ_{1} + 2 m π) / 3} \end{matrix}

\begin{matrix} (25) & Y_{2}^{m} \equiv \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (θ_{2} + 2 m π) / 3} \end{matrix}

が得られる。これら

Y

に関する解を(

12

)に代入すると

X

についての解として

\begin{matrix} (26) & X = X_{1}^{m}, X_{2}^{m} \end{matrix}

\begin{matrix} (27) & X_{1}^{m} \equiv Y_{1}^{m} - \frac{A}{3 Y_{1}^{m}} = \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (θ_{1} + 2 m π) / 3} - \frac{A}{3 \sqrt[3]{r_{1}}} e^{- i (θ_{1} + 2 m π) / 3} \end{matrix}

\begin{matrix} (28) & X_{2}^{m} \equiv Y_{2}^{m} - \frac{A}{3 Y_{2}^{m}} = \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (θ_{2} + 2 m π) / 3} - \frac{A}{3 \sqrt[3]{r_{2}}} e^{i (θ_{2} + 2 m π) / 3} \end{matrix}

が得られる。
Eq. (

14

) is a quadratic equation for

Y^{3}

, the solution of which is given by eq. (

15

). We now define

C

as (

16

) and represent it in a polar coordinate format as (

17

). Then eq. (

15

) reduces to (

18

). Let

D_{1}

and

D_{2}

be these two solutions, defined by eqs (

19

) and (

20

), and represent them in polar coordinate formats as eqs (

21

) and (

22

). Then the solution for

Y

is given by eq. (

23

), where

Y_{1}^{m}

and

Y_{2}^{m}

are given by eqs (

24

) and (

25

), respectively. Inserting these solutions for

Y

into (

12

) gives the solutions for

X

represented by eqs (

26

)-(

28

).

ところで(

19

)-(

22

)より

\begin{array}{rcl} r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} - θ_{2})} & = & D_{1} D_{2} \\ = & (- \frac{B}{2} + \sqrt{R} e^{i ϕ / 2}) (- \frac{B}{2} - \sqrt{R} e^{i ϕ / 2}) \\ = & \frac{B^{2}}{4} - R e^{i ϕ} \\ = & \frac{B^{2}}{4} - C \\ (29) & = & - \frac{A^{3}}{27} \end{array}

が成り立つ。

θ_{1}

θ_{2}

の定義範囲より

\begin{matrix} (30) & - 2 π < θ_{1} - θ_{2} < 2 π \end{matrix}

である。これらの性質を用いると(

27

)(

28

)をより見通しの良い形に変形でき、両者を比較することができる。以下では

A

の符号に応じて場合分けしてこの比較を行う。
From (

19

)-(

22

), one obtains eq. (

29

), and the definition ranges of

θ_{1}

and

θ_{2}

mean that the range of

θ_{1} - θ_{2}

is limited as (

30

). Using these relations, eqs (

27

) and (

28

) can be arranged to more comprehensive forms and can be easily compared. These forms depend on the sign of

A

.

まず

A \leq 0

のとき、 (

29

)より

e^{i (θ_{1} - θ_{2})} = 1

となり、 (

30

)の条件と合わせて

θ_{1} - θ_{2} = 0

を得る。またこのとき(

29

)より

\sqrt[3]{r_{1}} \sqrt[3]{r_{2}} = - \frac{A}{3}

であるので、これらの関係を用いて(

27

)(

28

)式は

\begin{matrix} (31) & X_{1}^{m} = \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (θ_{1} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (θ_{2} + 2 m π) / 3} \end{matrix}

\begin{matrix} (32) & X_{2}^{m} = \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (θ_{2} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (θ_{2} + 2 m π) / 3} \end{matrix}

と書き直せる。これより

X_{1}^{m} = X_{2}^{m}

であり、独立な解としては

X_{1}^{m}

のみを考えれば良いことが分かる。
In case of

A \leq 0

, (

29

) gives

e^{i (θ_{1} - θ_{2})} = 1

, from which one obtains

θ_{1} - θ_{2} = 0

taking into account eq. (

30

). In this case eq. (

29

) reduces to

\sqrt[3]{r_{1}} \sqrt[3]{r_{2}} = - \frac{A}{3}

. Using these relations, eqs (

27

) and (

28

) can be rewritten as (

31

) and (

32

), respectively. Therefore

X_{1}^{m} = X_{2}^{m}

holds, so that only

X_{1}^{m}

needs to be considered as the independent solutions.

次に

A > 0

のとき、(

29

)より

e^{i (θ_{1} - θ_{2})} = - 1

となり、 (

30

)の条件と合わせて

θ_{1} - θ_{2} = \pm π

を得る。ところで

A > 0

のときは (

16

)より

C > \frac{B^{2}}{4} > 0

であるので (

17

)において

R > \frac{B^{2}}{4}

ϕ = 0

となる。したがって(

19

)(

20

)式から

D_{1} = - \frac{B}{2} + \sqrt{R} > 0

D_{2} = - \frac{B}{2} - \sqrt{R} < 0

となり、

θ_{1} = 0

θ_{2} = π

θ_{1} - θ_{2} = - π

であることが分かる。またこのとき(

29

)より

\sqrt[3]{r_{1}} \sqrt[3]{r_{2}} = \frac{A}{3}

となるので (

27

)(

28

)式は

\begin{array}{rcl} X_{1}^{m} & = & \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (θ_{1} + 2 m π) / 3} - \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (θ_{2} - π + 2 m π) / 3} \\ = & \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (θ_{1} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{2}} e^{i π} e^{- i (θ_{2} - π + 2 m π) / 3} \\ (33) & = & \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (θ_{1} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i [θ_{2} + 2 (m - 2) π] / 3} \end{array}

\begin{array}{rcl} X_{2}^{m} & = & \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (θ_{2} + 2 m π) / 3} - \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (θ_{1} + π + 2 m π) / 3} \\ = & \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (θ_{2} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{1}} e^{i π} e^{i (θ_{1} + π + 2 m π) / 3} \\ (34) & = & \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (θ_{2} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{1}} e^{i [θ_{1} + 2 (m + 2) π] / 3} \end{array}

と書き直せる。これより

X_{1}^{0} = X_{2}^{1}

X_{1}^{1} = X_{2}^{2}

X_{1}^{2} = X_{2}^{0}

となり、独立な解としては

X_{1}^{m}

のみを考えれば良いことが分かる。また、その解については(

33

)を対称性の良い形に変形すると

\begin{matrix} (35) & X_{1}^{m} = \sqrt[3]{r_{1}} e^{2 π i / 3 + i [θ_{1} + 2 (m - 1) π] / 3} + \sqrt[3]{r_{2}} e^{2 π i / 3 - i [θ_{2} + 2 (m - 1) π] / 3} \end{matrix}

となるが、

m

の定義を変えて

\begin{matrix} (36) & X_{1}^{m} = \sqrt[3]{r_{1}} e^{2 π i / 3 + i (θ_{1} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{2}} e^{2 π i / 3 - i (θ_{2} + 2 m π) / 3} \end{matrix}

としても3つの解の順番が変わるだけで解自体は変わらない。
We next consider a case where

A > 0

. In this case, eq. (

29

) gives

e^{i (θ_{1} - θ_{2})} = - 1

, from which

θ_{1} - θ_{2} = \pm π

is obtained based on eq. (

30

). Indeed, when

A > 0

, eq. (

16

) indicates

C > \frac{B^{2}}{4} > 0

, so that

R > \frac{B^{2}}{4}

and

ϕ = 0

hold in eq. (

17

). Then eqs (

19

) and (

20

) indicate

D_{1} = - \frac{B}{2} + \sqrt{R} > 0

and

D_{2} = - \frac{B}{2} - \sqrt{R} < 0

, respectively, from which

θ_{1} = 0

θ_{2} = π

, and thus

θ_{1} - θ_{2} = - π

are obtained. Eq. (

29

) also indicates

\sqrt[3]{r_{1}} \sqrt[3]{r_{2}} = \frac{A}{3}

, so that eqs (

27

) and (

28

) are rewritten as (

33

) and (

34

), respectively. These equations indicate

X_{1}^{0} = X_{2}^{1}

X_{1}^{1} = X_{2}^{2}

, and

X_{1}^{2} = X_{2}^{0}

, so that only

X_{1}^{m}

are needed as the independent solutions. Eq. (

33

) can further be arranged to more symmetric form of (

35

), and shifting the definition of

m

by 1, which does not change the solutions but changes only the order of them, gives a simpler form of eq. (

36

A \leq 0

の場合に

θ_{1} - θ_{2} = 0

であったこと、

A > 0

の場合には

θ_{1} - θ_{2} = - π

であったことを踏まえると、 (

31

)(

36

)はまとめて

\begin{array}{rcl} X_{1}^{m} & = & \sqrt[3]{r_{1}} e^{2 i (θ_{2} - θ_{1}) / 3 + i (θ_{1} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{2}} e^{2 i (θ_{2} - θ_{1}) / 3 - i (θ_{2} + 2 m π) / 3} \\ (37) & = & \sqrt[3]{r_{1}} e^{i (2 θ_{2} - θ_{1} + 2 m π) / 3} + \sqrt[3]{r_{2}} e^{- i (2 θ_{1} - θ_{2} + 2 m π) / 3} \end{array}

と書ける。これが

X

に関する解であり、(

10

)に代入すれば

x

に関する解として(

2

)が得られる。
Since

θ_{1} - θ_{2} = 0

and

θ_{1} - θ_{2} = - π

hold in cases of

A \leq 0

and

A > 0

, respectively, eqs (

31

) and (

36

) can be unified as (

37

). This is the solution for

X

, and inserting it into (

10

) results in the solution for

x

, given by eq. (

2

関数eqsol3 マニュアル

◆機能・用途(Purpose)

◆形式(Format)

◆引数(Arguments)

◆戻り値(Return value)

◆使用例(Example)

◆計算式とアルゴリズム (Formula and algorithm)

1. a=0の判定と処理 (Judgement and processings for a=0)

2. a≠0のときの解 (Solution in case of a≠0)

解の導出 (Derivation of the solutions)

1. $a = 0$ の判定と処理 (Judgement and processings for $a = 0$ )

2. $a \neq 0$ のときの解 (Solution in case of $a \neq 0$ )