関数gaussian_cumulative マニュアル

(The documentation of function gaussian_cumulative)


Last Update: 2021/12/1


◆機能・用途(Purpose)

指定された\(x\)におけるガウス関数の積分値(正規分布に対する累積確率) \[\begin{equation} G(x)=\int_{-\infty}^x g(x')dx', \hspace{1em} g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right] \label{eq.gaussian} \end{equation}\] を計算する。
Compute the integral value of the Gaussian function (i.e., the cumulative probability for a normal distribution; eq. \ref{eq.gaussian}) at a given \(x\).

◆形式(Format)

#&35;include <gaussian.h>
inline double gaussian_cumulative
(const double x,const double ave,const double stddev)


◆引数(Arguments)

x 積分値を求めたい\(x\)の値。
The value of \(x\) for which the integral value is needed.
ave ガウス関数の平均値((\ref{eq.gaussian})式の\(a\))。
The average of the Gaussian; \(a\) in eq. (\ref{eq.gaussian}).
stddev ガウス関数の標準偏差((\ref{eq.gaussian})式の\(\sigma\))。
The standard deviation of the Gaussian; \(\sigma\) in eq. (\ref{eq.gaussian}).


◆戻り値(Return value)

(\ref{eq.gaussian})式の\(G(x)\)の値。
The value of \(G(x)\) in eq. (\ref{eq.gaussian}).

◆使用例(Example)

double g=gaussian_cumulative(3.0,1.0,2.0);


◆計算方法(Computation method)

C言語では誤差関数 \[\begin{equation} \mbox{erf}(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x \exp\left[-\left(x'\right)^2\right]dx' \label{eq.erf} \end{equation}\] を計算する組み込み関数erfが定義されている。 これを用いると \[\begin{eqnarray} G(x) &=& \frac{1}{2}+\int_a^x g(x')dx' \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_a^x \exp\left[-\frac{(x'-a)^2}{2\sigma^2}\right]dx' \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_0^{(x-a)/(\sqrt{2}\sigma)} \exp\left[-\left(x''\right)^2\right]\sqrt{2}\sigma dx'' \hspace{1em} \left(x''=\frac{x'-a}{\sqrt{2}\sigma}\right) \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{(x-a)/(\sqrt{2}\sigma)}\exp\left[-\left(x''\right)^2\right]dx'' \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mbox{erf}\left(\frac{x-a}{\sqrt{2}\sigma}\right) \label{eq.formula} \end{eqnarray}\] と計算できる。
A built-in function erf (eq. \ref{eq.erf}) is available in C language. Using this, \(G(x)\) is calculated by eq. (\ref{eq.formula}).