元々の時系列データを\(f(t)\)、積分後の時系列データを\(F(t)\)とすると、
任意の時刻\(a\), \(b\)について
\[\begin{equation}
F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)dt
\label{eq.Ff_relation}
\end{equation}\]
が成り立つ。これを変形すると
\[\begin{equation}
F(b)=F(a)+\int_a^b f(t)dt
\label{eq.Ff_relation.arrange1}
\end{equation}\]
が得られる。
Let \(f(t)\) and \(F(t)\) be
the original and integrated time series data, respectively.
Then Eq. (\ref{eq.Ff_relation}) holds for arbitrary times \(a\) and \(b\),
which can be arranged as (\ref{eq.Ff_relation.arrange1}).
(\ref{eq.Ff_relation.arrange1})式で
\(a=t_0+(n-1)\Delta t\), \(b=t_0+n\Delta t\)
(\(t_0\): 時系列データの先頭時刻、\(\Delta t\): 時系列データのサンプル間隔、
\(n\): 任意の自然数)とおくと
\[\begin{eqnarray}
F(t_0+n\Delta t)
&=& F(t_0+(n-1)\Delta t)
+\int_{t_0+(n-1)\Delta t}^{t_0+n\Delta t} f(t)dt
\nonumber \\
&\sim& F(t_0+(n-1)\Delta t)
+\frac{f(t_0+(n-1)\Delta t)+f(t_0+n\Delta t)}{2}\Delta t
\label{eq.use}
\end{eqnarray}\]
が得られる。ここで第2式では\(\Delta t\)が十分に小さく
積分を台形の面積で近似できるものとした。
(\ref{eq.use})式は時刻\(t=t_0+(n-1)\Delta t\)での\(F(t)\)値を与えて
時刻\(t=t_0+n\Delta t\)での\(F(t)\)を求める漸化式になっており、
これを\(n=1,2,\cdots,\)と動かしながら繰り返し適用することで
全ての時刻サンプルにおける\(F(t)\)を求めることができる。
Let us use \(a=t_0+(n-1)\Delta t\) and \(b=t_0+n\Delta t\)
in Eq. (\ref{eq.Ff_relation.arrange1}),
where \(t_0\) and \(\Delta t\) are
the beginning time and sampling interval
of the time series data, respectively,
and \(n\) is an arbitrary natural number.
We then have Eq. (\ref{eq.use}),
where a small \(\Delta t\) was assumed and
the integral was approximated by
the area of a trapezoid in the 2nd line of this formula.
Eq. (\ref{eq.use}) is a recursive formula
that gives \(F(t)\) at time \(t=t_0+n\Delta t\)
from \(F(t)\) at \(t=t_0+(n-1)\Delta t\).
Repeatedly applying this formula for increasing \(n\) from \(n=1\)
results in values of \(F(t)\) for all time samples.
なお、(\ref{eq.use})式の\(n=1\)から\(n=N\)までの和を取ると
\[\begin{equation}
F(t_0+N\Delta t)\sim F(t_0)+\sum_{n=1}^N
\frac{f(t_0+(n-1)\Delta t)+f(t_0+n\Delta t)}{2}\Delta t
\label{eq.sum}
\end{equation}\]
となって台形公式が得られる。しかし(\ref{eq.sum})式を用いるよりも
(\ref{eq.use})式を用いる方が計算量が少ないので
この関数では(\ref{eq.use})式を用いている。
Note that a summation of eq. (\ref{eq.use})
from \(n=1\) to \(n=N\) gives Eq. (\ref{eq.sum}),
which is the trapezoid formula.
However, this function uses Eq. (\ref{eq.use})
because the quantity of computation of Eq. (\ref{eq.use})
is smaller than (\ref{eq.sum}).