元々の時系列データを\(f(t)\)とする。
\(f(t)\)の2階微分を中心差分で近似すると
\[\begin{equation}
\ddot{f}(t)
=\frac{f(t+\Delta t)-2f(t)+f(t-\Delta t)}{\Delta t^2}
\label{eq.ddiff.center}
\end{equation}\]
となる。
Let \(f(t)\) be the original time series data.
Approximating the 2nd-order derivative of \(f(t)\)
by a central difference gives Eq. (\ref{eq.ddiff.center}).
元々の時系列データのサンプル時刻を
\(t=t_0+k\Delta t\), \(k=0,1,2,\cdots,N-1\)とする。
(\ref{eq.ddiff.center})式を用いて計算できるのは\(k=1,2,\cdots,N-2\)であり、
\(k=0\)と\(k=N-1\)のサンプルに対しては(\ref{eq.ddiff.center})式は適用できない。
そこでこの関数では\(k=0\)のサンプル(\(\ddot{f}(t_0)\))については
引数initialValueで与える。
また\(k=N-1\)のサンプルの値は\(k=N-2\)の値と等しいものとおく
(\(\ddot{f}(t_0+(N-1)\Delta t)=\ddot{f}(t_0+(N-2)\Delta t)\))。
これにより、\(f(t)\)と同じ定義域を持つ\(\ddot{f}(t)\)を作成する。
Let the sample times of the original time series data be
\(t=t_0+k\Delta t\), \(k=0,1,2,\cdots,N-1\).
Eq. (\ref{eq.ddiff.center}) is applicable to \(k=1,2,\cdots,N-2\)
and not applicable to samples corresponding to \(k=0\) and \(k=N-1\).
This function gives the sample value for \(k=0\)
(i.e., \(\ddot{f}(t_0)\)) by argument initialValue,
and assumes that the sample value for \(k=N-1\) is equal to that for \(k=N-2\)
(i.e., \(\ddot{f}(t_0+(N-1)\Delta t)=\ddot{f}(t_0+(N-2)\Delta t)\)).
In this way, the definition range of \(\ddot{f}(t)\)
is made consistent with that of \(f(t)\).