関数sequence_trend_moving_window マニュアル

(The documentation of function sequence_trend_moving_window)
Last Update: 2023/12/21


◆機能・用途(Purpose)

時系列データを直線でフィットしたときの傾きと切片を 時間窓を移動させながら計算する。
Calculate the slope and intercept of the straight line that best fits a time series data in a moving time window.

◆形式(Format)

#include <sequence/statistics.h>
inline struct sequence ∗sequence_trend_moving_window
(struct sequence seq,const double length,const char ∗time_ref)


◆引数(Arguments)

seq 計算に用いる時系列データを表す構造体。
A structure to represent the time series data used for the computation.
length 計算に用いる時間窓の長さ。 時系列データのサンプリング間隔の整数倍でなければならない。
The length of the time window used for the computation; this value must be an integer multiple of the sampling interval of the time series data.
time_ref 戻り値における時刻の取り方。 下記のいずれかを指定する。
The definition of time in the return value. Choose from one of the followings.
  • start
    時間窓の先頭の時刻を使用する。
    Use the beginning time of the time window.

  • middle
    時間窓の中央の時刻を使用する。
    Use the central time of the time window.

  • end
    時間窓の末尾の時刻を使用する。
    Use the end time of the time window.



◆戻り値(Return value)

時系列データの傾きと切片(時間窓を動かすのでどちらも時系列データになる)を並べた配列。 切片は時系列データの定義域に関わらず直線の時刻\(t=0\)での値とする。
An array composed of the slope and intercept of the time series data. Each of the slope and intercept is a time series data because of the use of a moving time window. The intercept is defined as the value of the straight line at time \(t=0\) regardless of the definition range of the time series data.

◆使用例(Example)

struct sequence seq;
struct sequence ∗trend =sequence_trend_moving_window(seq,2.0,"middle");

この例ではtrend[0]が傾き、trend[1]が切片の時系列データとなる。 これらの時系列データにおける時刻としては時間窓の中央の値が用いられる。
In this example, trend[0] and trend[1] are the time series data that represents the slope and intercept, respectively. The central time of each time window is used for the time in these time series data created.

◆計算方法(Computation method)

時系列データが時刻\(t=t_0,t_1,\cdots,t_{N-1}\)において定義されているものとし、 それらの時刻での値を\(f_0,f_1,\cdots,f_{N-1}\)とする。 \(M\)を整数(\(\leq N\))、\(j=0,1,\cdots,N-M\)とし、 各\(j\)において時刻\(t_j \leq t\leq t_{j+M-1}\)の範囲の時系列データを 最も良く説明する直線を\(f=a_jt+b_j\)とする。 最小二乗フィッティングによって傾き\(a_j\)と切片\(b_j\)を求めると \[\begin{eqnarray} a_j &=& \frac{M\sum_{i=j}^{j+M-1}t_if_i -\left(\sum_{i=j}^{j+M-1}t_i\right) \left(\sum_{i=j}^{j+M-1}f_i\right)} {M\sum_{i=j}^{j+M-1}t_i^2 -\left(\sum_{i=j}^{j+M-1}t_i\right)^2} \nonumber \\ &=& \frac{M S_j^{(tf)} -S_j^{(t)}S_j^{(f)}} {M S_j^{(tt)} -\left[S_j^{(t)}\right]^2} \label{eq.a_j} \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} b_j &=& \frac{\left(\sum_{i=j}^{j+M-1}t_i^2\right) \left(\sum_{i=j}^{j+M-1}f_i\right) -\left(\sum_{i=j}^{j+M-1}t_i\right) \left(\sum_{i=j}^{j+M-1}t_if_i\right)} {M\sum_{i=j}^{j+M-1}t_i^2 -\left(\sum_{i=j}^{j+M-1}t_i\right)^2} \nonumber \\ &=& \frac{S_j^{(tt)} S_j^{(f)} -S_j^{(t)} S_j^{(tf)}} {M S_j^{(tt)} -\left[S_j^{(t)}\right]^2} \label{eq.b_j} \end{eqnarray}\] となる (関数sequence_trendのマニュアル 参照)。ここで \[\begin{equation} S_j^{(t)} \equiv \sum_{i=j}^{j+M-1}t_i \label{eq.S_j_t} \end{equation}\] \[\begin{equation} S_j^{(tt)} \equiv \sum_{i=j}^{j+M-1}t_i^2 \label{eq.S_j_tt} \end{equation}\] \[\begin{equation} S_j^{(f)} \equiv \sum_{i=j}^{j+M-1}f_i \label{eq.S_j_f} \end{equation}\] \[\begin{equation} S_j^{(tf)} \equiv \sum_{i=j}^{j+M-1}t_if_i \label{eq.S_j_tf} \end{equation}\] とおいた。
Let the time series data be defined at time \(t=t_0,t_1,\cdots,t_{N-1}\), and the values of the data at these time samples be \(f_0,f_1,\cdots,f_{N-1}\). Let \(M\) be an integer (\(\leq N\)) and \(j=0,1,\cdots,N-M\). For each \(j\), let the straight line that best explains the time series data in a time range \(t_j \leq t \leq t_{j+M-1}\) be \(f=a_jt+b_j\). A least squares fitting gives the slope \(a_j\) and intercept \(b_j\) as Eqs. (\ref{eq.a_j}) and (\ref{eq.b_j}\), respectively, where \(S_j^{(t)}\), \(S_j^{(tt)}\), \(S_j^{(f)}\), and \(S_j^{(tf)}\) are defined as Eqs. (\ref{eq.S_j_t})-(\ref{eq.S_j_tf}); see the documentation of function sequence_trend for the derivation of this solution.
\(S_j^{(t)}\), \(S_j^{(tt)}\)は和の公式を用いて \[\begin{eqnarray} S_j^{(t)} &=& \sum_{i=j}^{j+M-1}[t_j+(i-j)\Delta t] \nonumber \\ &=& \sum_{i=0}^{M-1}[t_j+i\Delta t] \nonumber \\ &=& Mt_j+\Delta t\sum_{i=0}^{M-1}i \nonumber \\ &=& Mt_j+\Delta t\frac{(M-1)M}{2} \label{eq.S_j_t.formula} \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} S_j^{(tt)} &=& \sum_{i=j}^{j+M-1}[t_j+(i-j)\Delta t]^2 \nonumber \\ &=& \sum_{i=0}^{M-1}[t_j+i\Delta t]^2 \nonumber \\ &=& \sum_{i=0}^{M-1}[t_j^2+2t_j i\Delta t+i^2(\Delta t)^2] \nonumber \\ &=& Mt_j^2+2t_j\Delta t\sum_{i=0}^{M-1}i+(\Delta t)^2\sum_{i=0}^{M-1}i^2 \nonumber \\ &=& Mt_j^2+2t_j\Delta t\frac{(M-1)M}{2} +(\Delta t)^2\frac{(M-1)M(2M-1)}{6} \label{eq.S_j_tt.formula} \end{eqnarray}\] と計算できる。 ここで\(\Delta t\)は時系列データの時間刻みである。 一方、\(S_j^{(f)}\)は漸化式 \[\begin{eqnarray} S_j^{(f)} &=& \sum_{i=j}^{j+M-1}f_i \nonumber \\ &=& \sum_{i=j-1}^{j+M-2}f_i +f_{j+M-1}-f_{j-1} \nonumber \\ &=& S_{j-1}^{(f)}+f_{j+M-1}-f_{j-1} \label{eq.S_j_f.recursive} \end{eqnarray}\] によって計算でき、 多数の\(j\)について\(S_j^{(f)}\)を計算する場合には (\ref{eq.S_j_f})式を直接用いるよりも (\ref{eq.S_j_f.recursive})式を用いる方が計算量を削減できる。 同様に\(S_j^{(tf)}\)についても漸化式 \[\begin{equation} S_j^{(tf)}=S_{j-1}^{(tf)}+t_{j+M-1}f_{j+M-1}-t_{j-1}f_{j-1} \label{eq.S_j_tf.recursive} \end{equation}\] によって計算できる。
\(S_j^{(t)}\) and \(S_j^{(tt)}\) can be computed using the summation formula of Eqs. (\ref{eq.S_j_t.formula}) and (\ref{eq.S_j_tt.formula}), where \(\Delta t\) is the sampling interval of the time series data. \(S_j^{(f)}\) can be computed using a recursive formula of Eq. (\ref{eq.S_j_f.recursive}), which is more efficient than directly applying Eq. (\ref{eq.S_j_f}) when the computation is repeated for many \(j\). Similarly, \(S_j^{(tf)}\) is computed using a recursive formula of Eq. (\ref{eq.S_j_tf.recursive}).