関数create_timefunc_gaussian マニュアル

(The documentation of function create_timefunc_gaussian)

Last Update: 2021/12/8

◆機能・用途(Purpose)

時間関数gaussian(下記(\ref{eq.definition})式)に基づく時系列データを作成する。 エラーチェック機能が不十分なのでこの関数を直接用いてはならない。この関数は関数create_timefuncからの内部呼び出し用である。
Create a time series data based on a time function gaussian defined by eq. (\ref{eq.definition}). Do not directly call this function because error checks are insufficient. This function is for an internal call from function create_timefunc.

◆時間関数の定義 (Definition of the time function)

概要(Overview)
いわゆるガウス関数である。最大値が1になるように、かつパルス幅が\(\tau_p\)程度になるように係数を決めている。
The well-known Gaussian function, with coefficients determined so that the maximum is unity and the pulse width is approximately \(\tau_p\).

定義(Definition)
\[\begin{equation} f(t)=e^{-\{5(t-\tau_s)/\tau_p\}^2} \label{eq.definition} \end{equation}\]
以下の微分形と積分形の導出にあたっては変数変換 \[\begin{equation} \tau\equiv\frac{5(t-\tau_s)}{\tau_p} \label{eq.tau} \end{equation}\] \[\begin{equation} \frac{d\tau}{dt}=\frac{5}{\tau_p} \label{eq.dtau.dt} \end{equation}\] を用いる。このとき \[\begin{equation} f(\tau)=e^{-{\tau}^2} \label{eq.use_tau} \end{equation}\] である。また積分では誤差関数 \[\begin{equation} erf(t)\equiv\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^te^{-{t’}^2}dt’ \label{eq.errorfunc} \end{equation}\] も用いる。積分公式 \[\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-{t’}^2}dt’=\sqrt{\pi} \label{eq.integral.full} \end{equation}\] および\(e^{-{t’}^2}\)が隅関数であることから \[\begin{equation} \int_{-\infty}^0 e^{-{t’}^2}dt’ =\int_0^{\infty}e^{-{t’}^2}dt’=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \label{eq.integral.half} \end{equation}\] が得られ、(\ref{eq.errorfunc})(\ref{eq.integral.half}) を組み合わせると、\(t>0\)に対して \[\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^te^{-{t’}^2}dt’ &=& \int_{-\infty}^0e^{-{t’}^2}dt’ +\int_0^te^{-{t’}^2}dt’ \nonumber \\ &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2}+\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(t) \nonumber \\ &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2}\{1+erf(t)\} \label{eq.errorfunc.positive} \end{eqnarray}\] \(t<0\)に対して \[\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^te^{-{t’}^2}dt’ &=& \int_{-\infty}^0e^{-{t’}^2}dt’ -\int_t^0e^{-{t’}^2}dt’ \nonumber \\ &=& \int_{-\infty}^0e^{-{t’}^2}dt’ -\int_{-t}^0e^{-{t’’}^2}(-dt’’) \hspace{1em} (t’’=-t’) \nonumber \\ &=& \int_{-\infty}^0e^{-{t’}^2}dt’ -\int_0^{-t}e^{-{t’’}^2}dt’’ \nonumber \\ &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2}-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(-t) \nonumber \\ &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2}-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(t) \nonumber \\ &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2}\{1-erf(t)\} \label{eq.errorfunc.negative} \end{eqnarray}\] となる。(\ref{eq.errorfunc.positive}) (\ref{eq.errorfunc.negative})をまとめて \[\begin{equation} \int_{-\infty}^te^{-{t’}^2}dt’ =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\{1+sign(t)erf(t)\} \label{eq.errorfunc.all} \end{equation}\] と書ける。ここで\(sign(t)\)は\(t\)の符号を表す。
The conversion of the variable defined by Eqs. (\ref{eq.tau}) and (\ref{eq.dtau.dt}) is used to compute the differential and integration forms. Then the function is expressed as (\ref{eq.use_tau}). Also the error function defined by Eq. (\ref{eq.errorfunc}) is used to compute the integration forms. The formula (\ref{eq.integral.full}) and the fact that \(e^{-{t’}^2}\) is an even function gives Eq. (\ref{eq.integral.half}). From Eqs. (\ref{eq.errorfunc}) and (\ref{eq.integral.half}), one obtains Eq. (\ref{eq.errorfunc.positive}) for \(t>0\) and Eq. (\ref{eq.errorfunc.negative}) for \(t<0\). Eqs. (\ref{eq.errorfunc.positive}) and (\ref{eq.errorfunc.negative}) can be merged as Eq. (\ref{eq.errorfunc.all}), where \(sign(t)\) is the sign of \(t\).

1階導関数 (1st order derivative)
\[\begin{eqnarray} \frac{df(t)}{dt} &=& \frac{df}{\tau}\frac{\tau}{dt} \nonumber \\ &=& -2\tau e^{-{\tau}^2}\frac{5}{T_p} \nonumber \\ &=& -2\frac{5(t-T_s)}{T_p}e^{-\{5(t-T_s)/T_p\}^2}\frac{5}{T_p} \nonumber \\ &=& -\frac{50(t-T_s)}{T_p^2}e^{-\{5(t-T_s)/T_p\}^2} \label{eq.derivative} \end{eqnarray}\]

1階積分 (1st order integral)
\[\begin{eqnarray} F_1(t) &=& \int_{-\infty}^t f(t’)dt’ \nonumber \\ &=& \int_{-\infty}^{\tau} f(\tau’)\frac{dt’}{d\tau’}d\tau’ \nonumber \\ &=& \int_{-\infty}^{\tau} e^{-{\tau’}^2}\frac{T_p}{5}d\tau’ \nonumber \\ &=& \frac{T_p}{5}\int_{-\infty}^{\tau} e^{-{\tau’}^2}d\tau’ \nonumber \\ &=& \frac{T_p}{5}\{1+sign(\tau)erf(\tau)\} \nonumber \\ &=& \frac{T_p}{5}\left\{1+sign(t-T_s)erf\frac{5(t-T_s)}{T_p}\right\} \label{eq.integral1} \end{eqnarray}\]

2階積分 (2nd order integral)
計算式を導出していない。
The formula has yet to be derived.

◆形式(Format)

#include <sequence/timefunc.h>
inline struct sequence create_timefunc_gaussian
(const double tp,const double ts,const int size,const double t0,
const double dt,const int Nintegral)

◆引数(Arguments)

(\ref{eq.definition})式における\(\tau_p\)の値。
The value of \(\tau_p\) in eq. (\ref{eq.definition}).

(\ref{eq.definition})式における\(\tau_s\)の値。
The value of \(\tau_s\) in eq. (\ref{eq.definition}).

size

作成する時系列データのサンプル数。
The number of samples of the time series data to create.

作成する時系列データの先頭時刻。
The beginning time of the time series data to create.

作成する時系列データのサンプリング間隔。
The sampling interval of the time series data to create.

Nintegral

積分回数。以下の3つの値のいずれかを指定する。
The number of integrals, which must be one of the followings.

\(-1\)	時間関数の微分形(\ref{eq.derivative}式)を作成する。 Create the differential form (eq. \ref{eq.derivative}) of the time function.
0	時間関数そのもの(\ref{eq.definition}式)を作成する。 Create the time function itself (eq. \ref{eq.definition}).
1	時間関数の1階積分形(\ref{eq.integral1}式)を作成する。 Create the 1st order integral form (eq. \ref{eq.integral1}) of the time function.

◆戻り値(Return value)

引数Nintegralの値に応じて (\ref{eq.definition})(\ref{eq.derivative})(\ref{eq.integral1})のいずれかの時間関数を表す時系列データ。
A time series data which represents the time function of either of eqs. (\ref{eq.definition}), (\ref{eq.derivative}), and (\ref{eq.integral1}) depending on argument Nintegral.

◆使用例(Example)

struct sequence timefunc=create_timefunc_gaussian (5.0,2.5,10001,-2.0,0.01,1);

この例では(\ref{eq.integral1})式で \(\tau_p=5\) s, \(\tau_s=2.5\) sとした時系列データが \(t\in [-2,98]\)の時間範囲において0.01 sのサンプリング間隔で作成される。
In this example, a time series data based on eq. (\ref{eq.integral1}) with \(\tau_p=5\) s and \(\tau_s=2.5\) s is created in a time range \(t\in [-2,98]\) with 0.01 s sampling intervals.