茂木モデルの計算式

(Formula used in the Mogi model)

twsヘッダファイルパッケージでは 茂木モデル(Mogi, 1958, 震研彙報)を用いて 変位だけでなく傾斜変動も計算できる。 標高0mの水平な地表面に限定せず、 任意の標高に置いた水平な地表面や、一定勾配で傾斜した地表面での計算も できるようにしている。 これらの計算で必要になる数式を以下に記載する。
The tws header file package supports calculations of displacements and tilts based on the Mogi model (Mogi, 1958, Bull. Earthq. Res. Inst.). The ground surface is not limited to a flat plane at an altitude of 0 m; calculations on a flat ground surface at an arbitrary altitude, as well as on an inclined ground surface with a constant slope, are supported. Formula needed in these calculations are shown below.

地表面の与え方 (Definition of the ground surface)

水平位置\((x,y)\)における地表面の標高を \[\begin{equation} z=z_0+x\tan\theta_x+y\tan\theta_y \label{eq.z} \end{equation}\] とおく。ここで\(z_0\), \(\theta_x\), \(\theta_y\)は定数であり、 それぞれ以下の意味を持つ。
The ground surface elevation at a horizontal location \((x,y)\) is given by eq. (\ref{eq.z}), where \(z_0\), \(\theta_x\), and \(\theta_y\) are constants that represent the quantities below.
記号
Symbol 		定義
Definition
\(z_0\) 水平位置\((x,y)=(0,0)\)における地表面の標高。
The ground surface elevation at a horizontal location \((x,y)=(0,0)\).
\(\theta_x\) 地表面の\(x\)方向の勾配 \((-\frac{\pi}{2}<\theta_x<\frac{\pi}{2})\)。
The slope of the ground surface in \(x\)-direction \((-\frac{\pi}{2}<\theta_x<\frac{\pi}{2})\).
\(\theta_y\) 地表面の\(y\)方向の勾配 \((-\frac{\pi}{2}<\theta_y<\frac{\pi}{2})\)。
The slope of the ground surface in \(y\)-direction \((-\frac{\pi}{2}<\theta_y<\frac{\pi}{2})\).

変位の計算式 (Formula for displacement)

Mogi (1958)では微小サイズの等方ソースによって 均質な半無限媒質の地表面に生じる変位が与えられており、
という特徴を持つ。 したがって変位の3成分は以下の式で与えられる。 これは地表面の標高や傾きによらず、 ソースと観測点の相対位置のみで決まる。
Mogi (1958) gives the displacement on a ground surface of a homogeneous half space caused by a small isotropic source, which as characterized in that:
Therefore the formula for the three components of the displacement is given as below. This formula does not depend on the elevation and slope of the ground surface; it is determined purely by the relative locations between the source and the surface.
\[\begin{equation} U_x=\frac{3a^3P}{4\mu} \frac{x-x_s}{\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{3/2}} \label{eq.Ux} \end{equation}\] \[\begin{equation} U_y=\frac{3a^3P}{4\mu} \frac{y-y_s}{\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{3/2}} \label{eq.Uy} \end{equation}\] \[\begin{equation} U_z=\frac{3a^3P}{4\mu} \frac{z-z_s}{\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{3/2}} \label{eq.Uz} \end{equation}\]
ここで記号の意味は以下の通りである。
Here the symbols are defined as follows.
記号
Symbol 		定義
Definition
\(a\) ソースの球の半径。
The radius of the source sphare.
\(P\) ソースにおける増圧量。
The pressure increase of the source.
\((x_s,y_s,z_s)\) ソース位置。地中にあるものとする。
The location of the source, which is assumed to be under the ground surface.
\((x,y,z)\) 観測点の座標。地表面上にあるものとする。
The coordinate of the station, which is assumed to be on the ground surface.
\(r\) ソース-観測点間距離。
Distance from the source to the station.
\(\mu\) ラメ定数。
The Lame constant.
\((U_x,U_y,U_z)\) 観測点における変位。
The displacement at the station.

傾斜変動の計算式 (Formula for tilt)

傾斜変動の\(x\)成分は 変位の\(z\)成分の\(x\)方向への勾配\(\PartialDiff{U_z}{x}\)によって計算されるが、 地表面が傾いていることを考慮して以下のように取り扱う。 地表面上の2点\(A(x,y,z)\), \(B(x+\Delta x,y,z+\Delta z)\)を考える。 この2点間の\(U_z\)の差を用いて傾斜変動を \[\begin{equation} T_x =\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{U_z(x+\Delta x,y,z+\Delta z)-U_z(x,y,z)}{\Delta x} \label{eq.Tx.definition} \end{equation}\] によって計算する。 地表面の標高は(\ref{eq.z})式で与えられるので \[\begin{equation} \frac{\Delta z}{\Delta x}=\tan\theta_x \label{eq.dz_dx} \end{equation}\] である。これを用いると \[\begin{eqnarray} T_x &=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{U_z(x+\Delta x,y,z+\tan\theta_x\Delta x)-U_z(x,y,z)}{\Delta x} \nonumber \\ &=& \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x}\left[ U_z(x,y,z)+\PartialDiff{U_z}{x}\Delta x +\PartialDiff{U_z}{z}\tan\theta_x\Delta x -U_z(x,y,z) \right]\nonumber \\ &=& \PartialDiff{U_z}{x}+\PartialDiff{U_z}{z}\tan\theta_x \nonumber \\ &=& \left(\PartialDiff{}{x}+\tan\theta_x\PartialDiff{}{z}\right)\left\{ \frac{3a^3P}{4\mu} \frac{z-z_s}{\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{3/2}} \right\}\nonumber \\ &=& \frac{3a^3P}{4\mu} \PartialDiff{}{x} \left\{(z-z_s)\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{-3/2}\right\} \nonumber \\ & & +\frac{3a^3P}{4\mu}\tan\theta_x \PartialDiff{}{z} \left\{(z-z_s)\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{-3/2}\right\} \nonumber \\ &=& \frac{3a^3P}{4\mu} \left\{-\frac{3}{2}(z-z_s) \left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{-5/2} \left[2(x-x_s)\right]\right\} \nonumber \\ & & +\frac{3a^3P}{4\mu}\tan\theta_x \left\{\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{-3/2} \right.\nonumber \\ & & \left.-\frac{3}{2}(z-z_s) \left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{-5/2} \left[2(z-z_s)\right]\right\} \nonumber \\ &=& \frac{3a^3P}{4\mu} \frac{-3(x-x_s)(z-z_s)} {\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{5/2}} \nonumber \\ & & +\frac{3a^3P}{4\mu}\tan\theta_x \left\{\frac{1}{\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{3/2}} \right.\nonumber \\ & & \left.\frac{-3(z-z_s)^2} {\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{5/2}} \right\}\nonumber \\ &=& \frac{3a^3P}{4\mu} \frac{-3(x-x_s)(z-z_s) +\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2-2(z-z_s)^2\right]\tan\theta_x} {\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{5/2}} \label{eq.Tx} \end{eqnarray}\] が得られる。同様にして傾斜変動の\(y\)成分は \[\begin{equation} T_y=\frac{3a^3P}{4\mu} \frac{-3(y-y_s)(z-z_s) +\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2-2(z-z_s)^2\right]\tan\theta_y} {\left[(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2\right]^{5/2}} \label{eq.Ty} \end{equation}\] である。
The \(x\)-component of a tilt motion is calculated by the gradient of the \(z\)-component of the displacement in the \(x\)-direction, i.e., \(\PartialDiff{U_z}{x}\). However, as the ground surface is inclined, the tilt is treated as below. Let \(A(x,y,z)\) and \(B(x+\Delta x,y,z+\Delta z)\) be two points on the ground. Using the difference in \(U_z\) between these two points, the tilt is calculated by eq. (\ref{eq.Tx.definition}). As the elevation of the ground surface is given by eq. (\ref{eq.z}), eq. (\ref{eq.dz_dx}) holds. Using it, \(T_x\) is calculated as (\ref{eq.Tx}). In the same way, the tilt motion in the \(y\) direction is calculated by (\ref{eq.Ty}).