twoWayTraveltime2depthコマンドで用いている計算式
(Formula used in twoWayTraveltime2depth command)
1. 記号
(Notation)
- 速度定義点の個数(速度構造ファイルの行数)を\(N\)とする。
Let \(N\) be the number of velocity definition points
(i.e., the number of lines of the velocity structure file).
- 速度定義点の標高を速度構造ファイルにおける登場順に
\(\{z_0, z_1, z_2, \cdots, z_{N-1}\}=\{z_n;n=0,1,2,\cdots,N-1\}\)
とする。
Let the altitudes of the velocity definition points,
in the order of the velocity structure file, be
\(\{z_0, z_1, z_2, \cdots, z_{N-1}\}=\{z_n;n=0,1,2,\cdots,N-1\}\).
mode=depthの場合には
速度構造ファイルで直接定義されるのは地表面から下向きに測った深さであるが、
地表面が海水準(標高0[m])にあるものとして
深さを\(-1\)倍することにより標高を求める。
In case of mode=depth,
not the altitudes but depths, measured downward from the ground surface,
are defined in the velocity structure file,
and they are converted to altitudes by multiplying the depths with \(-1\)
assuming that the ground surface is at sea level (0 [m]).
これらの標高は
\(z_0\geq z_1\geq z_2\geq \cdots\geq z_{N-1}\)
を満たすことが要求される。
These altitudes must satisfy
\(z_0\geq z_1\geq z_2\geq \cdots\geq z_{N-1}\).
- これらの標高における速度を速度構造ファイルにおける登場順に
\(\{V_0,V_1,V_2,\cdots,V_{N-1}\}=\{V_n;n=0,1,2,\cdots,N-1\}\)とする。
Let the velocities at these altitudes,
in the order of the velocity structure file,
be \(\{V_0,V_1,V_2,\cdots,V_{N-1}\}=\{V_n;n=0,1,2,\cdots,N-1\}\).
- 地表面の標高を\(z_s\)とする。
Let the altitude of the ground surface be \(z_s\).
mode=depthの場合には\(z_s=0\)であるが、
統一的に取り扱うためにあえて\(z_s\)と書く。
In case of mode=depth, \(z_s=0\);
however, the ground surface is expressed as \(z_s\) even in this case
to unify the treatment.
なお地表面が速度構造の定義域に含まれなければならないことから
\(z_0\geq z_s\)であることが要求される。
Because the definition range of the velocity structure
must consist of the ground surface,
\(z_0\geq z_s\) is required.
- 地表面での速度を\(V_s\)とする。
Let \(V_s\) be the velocity at the ground surface.
- 地表面\(z_s\)と\(n\)番目の速度定義点\(z_n\)の間の往復走時を
\(T_n\)とする。
Let \(T_n\) be the two-way travel time
between the ground surface at \(z_s\)
and the \(n\)th velocity definition point at \(z_n\).
2. 速度定義点間の任意の標高における速度と往復走時
(Velocity and two-way travel time
at an arbitrary altitude between two velocity definition points)
- \(z_{n-1}>z>z_n\)の範囲では
速度\(V(z)\)が標高\(z\)の線形関数で変化すると仮定する。
これにより
\[\begin{equation}
V(z)=V_{n-1}+\frac{V_n-V_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}(z-z_{n-1})
\label{eq.V}
\end{equation}\]
となる。
The velocity \(V(z)\) is assumed to change
as a linear function of an altitude \(z\)
in a range \(z_{n-1}>z>z_n\).
Then \(V(z)\) is given by Eq. (\ref{eq.V}).
- この区間内において、
標高\(z_{n-1}\)と標高\(z\)の間の往復走時\(T(z;z_{n-1})\)を求める。
まず\(V_n=V_{n-1}\)のとき、\(z<z_{n-1}\)であることに注意して
\[\begin{equation}
T(z;z_{n-1})=2\frac{z_{n-1}-z}{V_{n-1}}
\label{eq.T.uniform}
\end{equation}\]
である。
Let us compute the two-way travel time \(T(z;z_{n-1})\)
between altitudes \(z_{n-1}\) and \(z\)
that falls in this section.
In case of \(V_n=V_{n-1}\),
\(T(z;z_{n-1})\) is given by Eq. (\ref{eq.T.uniform});
here, note that \(z<z_{n-1}\).
\(V_n\neq V_{n-1}\)のときは
\[\begin{eqnarray}
T(z;z_{n-1})
&=& 2\int_z^{z_{n-1}} \frac{dz’}{V(z’)}
\nonumber \\
&=& -2\int_{z_{n-1}}^z \frac{dz’}{V(z’)}
\nonumber \\
&=& -2\int_{z_{n-1}}^z
\frac{dz’}
{V_{n-1}+\frac{V_n-V_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}(z’-z_{n-1})}
\nonumber \\
&=& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\int_{z_{n-1}}^z
\frac{dz’}
{\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}(z_n-z_{n-1})+z’-z_{n-1}}
\nonumber \\
&=& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}\left[
\ln\left|\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}(z_n-z_{n-1})
+z’-z_{n-1}\right|
\right]_{z_{n-1}}^z
\nonumber \\
&=& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}\left[
\ln\left|\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}(z_n-z_{n-1})
+z-z_{n-1}\right|
\right. \nonumber \\
& & \left.
-\ln\left|\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}(z_n-z_{n-1})\right|
\right]
\nonumber \\
&=& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\ln\frac{\left|\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}(z_n-z_{n-1})
+z-z_{n-1}\right|}
{\left|\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}(z_n-z_{n-1})\right|}
\nonumber \\
&=& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\ln\left|\frac{\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}(z_n-z_{n-1})+z-z_{n-1}}
{\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}(z_n-z_{n-1})}\right|
\nonumber \\
&=& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\ln\left|1+\frac{V_n-V_{n-1}}{V_{n-1}}
\frac{z-z_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}\right|
\label{eq.T.derive1}
\end{eqnarray}\]
と計算できる。ここで
- \(z_n\leq z<z_{n-1}\)であることから
\(0<(z-z_{n-1})/(z_n-z_{n-1})\leq 1\)である
- \(V_n>0\)であることから\(V_n-V_{n-1}>-V_{n-1}\)であり、
したがって\((V_n-V_{n-1})/V_{n-1}>-1\)である
という2条件より
(\ref{eq.T.derive1})式の\(|\hspace{0.5em}|\)の中身は
常に正になることが保証されるので
\[\begin{equation}
T(z;z_{n-1})=
-2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\ln\left(1+\frac{V_n-V_{n-1}}{V_{n-1}}\frac{z-z_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}\right)
\label{eq.T}
\end{equation}\]
となる。
In case of \(V_n\neq V_{n-1}\),
\(T(z;z_{n-1})\) is calculated as Eq. (\ref{eq.T.derive1}).
The quantity in \(|\hspace{0.5em}|\) of Eq. (\ref{eq.T.derive1})
is positive because:
- a condition \(z_n\leq z<z_{n-1}\) reduces to
\(0<(z-z_{n-1})/(z_n-z_{n-1})\leq 1\); and
- a condition \(V_n>0\) reduces to \(V_n-V_{n-1}>-V_{n-1}\),
and thus \((V_n-V_{n-1})/V_{n-1}>-1\).
Taking into account this nature, Eq. (\ref{eq.T.derive1})
can be modified as (\ref{eq.T}).
なお(\ref{eq.T})式で\(V_n\rightarrow V_{n-1}\)とした極限を考えると
\[\begin{eqnarray}
T(z;z_{n-1})
&\sim& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\frac{V_n-V_{n-1}}{V_{n-1}}\frac{z-z_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}
\nonumber \\
&=& -2\frac{z-z_{n-1}}{V_{n-1}}
\nonumber \\
&=& 2\frac{z_{n-1}-z}{V_{n-1}}
\label{eq.T.limit}
\end{eqnarray}\]
となって(\ref{eq.T.uniform})式に帰着される。
Taking a limit of \(V_n\rightarrow V_{n-1}\) in Eq. (\ref{eq.T})
is given by Eq. (\ref{eq.T.limit})
and thus asymptotes to (\ref{eq.T.uniform}).
- 特に標高\(z_{n-1}\)と\(z_n\)の間の往復走時\(T(z_n;z_{n-1})\)は
以下のように書ける。
\(V_n=V_{n-1}\)のときは(\ref{eq.T.uniform})式より
\[\begin{equation}
T(z_n;z_{n-1})=2\frac{z_{n-1}-z_n}{V_{n-1}}
\label{eq.T.zn.uniform}
\end{equation}\]
である。また\(V_n\neq V_{n-1}\)のときは(\ref{eq.T})式より
\[\begin{eqnarray}
T(z_n;z_{n-1})
&=& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\ln\left(1+\frac{V_n-V_{n-1}}{V_{n-1}}\right)
\nonumber \\
&=& -2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}\ln\frac{V_n}{V_{n-1}}
\nonumber \\
&=& 2\frac{z_{n-1}-z_n}{V_n-V_{n-1}}\ln\frac{V_n}{V_{n-1}}
\label{eq.T.zn}
\end{eqnarray}\]
である。
The two-way travel time between altitudes \(z_{n-1}\) and \(z_n\)
is written as follows.
In case of \(V_n=V_{n-1}\),
Eq. (\ref{eq.T.uniform}) reduces to (\ref{eq.T.zn.uniform}).
In case of \(V_n\neq V_{n-1}\),
Eq. (\ref{eq.T}) reduces to (\ref{eq.T.zn}).
3. 地表面での速度
(Velocity at the ground surface)
- ある\(n\)について\(z_s=z_n\)となる場合には、
その\(n\)について\(V_s=V_n\)である。
If \(z_s=z_n\) for a certain \(n\),
\(V_s=V_n\) for that \(n\).
- ある\(n\)について\(z_{n-1}>z_s>z_n\)となる場合には、
その\(n\)について
\[\begin{equation}
V_s=V_{n-1}+\frac{V_n-V_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}(z_s-z_{n-1})
\label{eq.Vs}
\end{equation}\]
となることが(\ref{eq.V})式から分かる。
If \(z_{n-1}>z_s>z_n\) for a certain \(n\),
\(V_s\) is given by Eq. (\ref{eq.Vs}) for that \(n\)
according to Eq. (\ref{eq.V}).
4. 速度定義点までの往復走時
(Two-way travel times to velocity definition points)
- このプログラムでは地表から下方に伝播する波を考えるので、
地表よりも上の速度定義点(\(z_n>z_s\))については
\(T_n\)を求める必要は無い。
Because this program considers
waves that propagate downward from the ground surface,
\(T_n\) for a velocity definition point above the ground surface
点(\(z_n>z_s\)) needs not be computed.
- ちょうど地表にある速度定義点(\(z_n=z_s\))については
\(T_n=0\)である。
For a velocity definition point exactly at the ground surface
(\(z_n=z_s\)), \(T_n=0\).
- 地表よりも下にある最初の速度定義点
(\(z_{n-1}\geq z_s>z_n\)を満たす\(z_n\))については、
(\ref{eq.V})式に基づいて標高\(z_s\)と\(z_n\)の間の往復走時を求めれば良い。
これには(\ref{eq.T.uniform})(\ref{eq.T})式の
\(z_{n-1}\)を\(z_s\)で、\(z\)を\(z_n\)で、
\(V_{n-1}\)を\(V_s\)で置き換えれば良く、
\(V_n=V_{n-1}\)のとき
\[\begin{equation}
T_n=2\frac{z_s-z_n}{V_s}
\label{eq.Tn1.uniform}
\end{equation}\]
\(V_n\neq V_{n-1}\)のとき
\[\begin{eqnarray}
T_n
&=& -2\frac{z_n-z_s}{V_n-V_s}
\ln\left(1+\frac{V_n-V_s}{V_s}\frac{z_n-z_s}{z_n-z_s}\right)
\nonumber \\
&=& -2\frac{z_n-z_s}{V_n-V_s}
\ln\left(1+\frac{V_n-V_s}{V_s}\right)
\nonumber \\
&=& 2\frac{z_s-z_n}{V_n-V_s}\ln\left(\frac{V_n}{V_s}\right)
\label{eq.Tn1}
\end{eqnarray}\]
となる。
For the first subsurface velocity definition point \(z_n\),
which satisfies \(z_{n-1}\geq z_s>z_n\),
the two-way travel time can be computed based on Eq. (\ref{eq.V}).
This is realized by replacing \(z_{n-1}\), \(z\), and \(V_{n-1}\)
in Eqs. (\ref{eq.T.uniform}, \ref{eq.T})
with \(z_s\), \(z_n\), and \(V_s\), respectively.
Results are (\ref{eq.Tn1.uniform}) in case of \(V_n=V_{n-1}\)
and (\ref{eq.Tn1}) in case of \(V_n\neq V_{n-1}\).
- 地表よりも下にある2番目以降の速度定義点
(\(z_s>z_{n-1}\geq z_n\)を満たす\(z_n\))については
\(z_{n-1}\)と\(z_n\)の間の往復走時に\(T_{n-1}\)を加算すれば良い。
(\ref{eq.T.zn.uniform})(\ref{eq.T.zn})式より、
\(V_n=V_{n-1}\)のとき
\[\begin{equation}
T_n=T_{n-1}+2\frac{z_{n-1}-z_n}{V_{n-1}}
\label{eq.Tn.uniform}
\end{equation}\]
\(V_n\neq V_{n-1}\)のとき
\[\begin{equation}
T_n=T_{n-1}+2\frac{z_{n-1}-z_n}{V_n-V_{n-1}}\ln\frac{V_n}{V_{n-1}}
\label{eq.Tn}
\end{equation}\]
である。
For the second and deeper subsurface velocity definition points \(z_n\),
which satisfies \(z_s>z_{n-1}\geq z_n\),
\(T_n\) can be computed by adding \(T_{n+1}\) and
the two-way travel time between \(z_{n-1}\) and \(z_n\).
From Eqs. (\ref{eq.T.zn.uniform}, \ref{eq.T.zn}),
Eq. (\ref{eq.Tn.uniform}) is obtained in case of \(V_n=V_{n-1}\)
and Eq. (\ref{eq.Tn}) is obtained in case of \(V_n\neq V_{n-1}\).
5. 往復走時に対応する深さの計算
(Computation of depth corresponding to two-way travel time)
- 往復走時を\(t\)とする。
ある\(n\)においてちょうど\(t=T_n\)となる場合、
\(t\)に対応する標高は\(z=z_n\)である。
Let \(t\) be a two-way traveltime.
If \(t=T_n\) for a certain \(n\),
the altitude corresponding to \(t\) is given by \(z=z_n\).
- ある\(n\)について\(T_{n-1}<t<T_n\)となる場合、
\(z_{n-1}>z>z_n\)であり、
\(T(z;z_{n-1})=t-T_{n-1}\)となるように\(z\)を求めれば良い。
\(V_{n-1}=V_n\)であれば(\ref{eq.T.uniform})式から
\[\begin{equation}
T(z;z_{n-1})=2\frac{z_{n-1}-z}{V_{n-1}}=t-T_{n-1}
\label{eq.z.derive.uniform}
\end{equation}\]
であり、これを\(z\)について解けば
\[\begin{equation}
z=z_{n-1}-\frac{V_{n-1}(t-T_{n-1})}{2}
\label{eq.z.uniform}
\end{equation}\]
となる。
If \(T_{n-1}<t<T_n\) for a certain \(n\),
\(z_{n-1}>z>z_n\),
and \(z\) can be obtained by solving \(T(z;z_{n-1})=t-T_{n-1}\).
In case of \(V_{n-1}=V_n\),
Eq. (\ref{eq.T.uniform}) gives (\ref{eq.z.derive.uniform}),
which can be solved for \(z\) as (\ref{eq.z.uniform}).
\(V_{n-1}\neq V_n\)の場合には(\ref{eq.T})式から
\[\begin{equation}
T(z;z_{n-1})=
-2\frac{z_n-z_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\ln\left(1+\frac{V_n-V_{n-1}}{V_{n-1}}\frac{z-z_{n-1}}{z_n-z_{n-1}}\right)
=t-T_{n-1}
\label{eq.z.derive}
\end{equation}\]
であり、これを\(z\)について解けば
\[\begin{equation}
z=z_{n-1}
-(z_{n-1}-z_n)
\frac{V_{n-1}}{V_n-V_{n-1}}
\left[e^{(V_n-V_{n-1})(t-T_{n-1})/[2(z_{n-1}-z_n)]}-1\right]
\label{eq.z}
\end{equation}\]
が得られる。
In case of \(V_{n-1}\neq V_n\),
Eq. (\ref{eq.T}) reduces to (\ref{eq.z.derive}),
which can be solved for \(z\) as (\ref{eq.z}).