sacfile_remove_accStep_responseコマンドマニュアル

(The documentation of sacfile_remove_accStep_response command)

Last Update: 2025/4/7

◆機能・用途(Purpose)

速度波形を表すSAC時系列データから加速度ステップに対する地震計応答のシグナルを取り除く。
Remove the instrumental response of a velocity-type seismometer to an acceleration step from a SAC time series data.

図1は御嶽山周辺に設置されている名古屋大学の観測点で 2025年1月21日に観測された広帯域地震波形(radial成分、帯域:<0.3 Hz)である。この時間帯、御嶽山では火山性微動と群発地震を伴って強い傾斜変動が発生した。中の湯(NU.NKY)、王滝の湯(NU.OTY)の2観測点で共通して 16:07頃から16:10頃にかけてマイナス方向にゆっくりと変化し、16:10頃に反転している。この動きは傾斜変動のシグナルを記録していると思われる。一方、2つの観測点の間に位置するNU.KKMの観測点においては 16:09〜16:10頃に他の2観測点には見られない、より時定数の短いシグナルを描いている。これらの観測点は互いに数kmしか離れておらず、火山性の傾斜変動によって生じた数十秒を超える長周期の波形が観測点間でこのように大きく異なるとは考えにくい。 16:08:46にはマグニチュード2.3の地震が発生し、ローパスフィルターを掛ける前の記録にはこの地震による強い揺れが見られる。したがって図1におけるNU.KKMのシグナルは火山性の傾斜変動によるものではなく、この地震の揺れによって観測点近傍に局所的に生じた変動を描いていると思われる。
Fig. 1 shows broadband seismograms (a radial component, a frequency band below 0.3 Hz) observed on January 21, 2025, at stations around Mt. Ontake volcano operated by Nagoya University. An intense tilt change associated with a volcanic tremor and an earthquake swarm occurred at Mt. Ontake during this time period. The waveforms at NU.NKY and NU.OTY consistently show a slow change to the negative direction from 16:07 to 16:10 that switched to a positive direction at around 16:10. These motions appear to represent the tilt change. The station NU.KKM, located between NU.NKY and NU.OTY, shows a signal of a shorter duration around 16:09-16:10. Given the station separation of only several kilometers, the large discrepancy in the waveforms among the stations is unlikely to be caused by the volcanic tilt change that is dominantly above several tens of seconds. An earthquake of magnitude 2.3 occurred at 16:08:46, and a strong motion caused by this earthquake is recorded in the raw waveform records. Therefore, the signal at NU.KKM in Fig. 1 is not attributed to a volcanic tilt change but is likely attributed to a local movement caused by the strong motion.

図1. このプログラムで取り扱う波形の例。観測点NU.KKMにおいて近隣観測点には見られないシグナルを描いており、強震動によって生じた局所的な変動によるものと思われる。
Fig. 1. An example of an waveform to be treated by this program. A station NU.KKM shows a signal that is not visible at nearby stations, suggesting that this signal was caused by a local movement caused by a strong motion.

このことをより詳しく検討するため、加速度ステップに対する広帯域地震計の応答を検討する。仮に休暇村(NU.KKM)観測点において強振動に伴う加速度ステップが起きたとする(図2a)。例えば地震計が瞬間的に傾くことによって地震計に作用する重力加速度の水平成分がステップ的に変化するので見かけ上、このような加速度ステップを生じさせることができる。この入力加速度ステップに対応する入力速度波形は図2bのようになり、これに広帯域地震計の応答特性をコンボリューションすると図2cの速度応答波形が得られる。これに図1の波形と同じ0.3 Hzのローパスフィルターを掛け、時刻と振幅を適当に調整して両者を重ねると図3のようによく重なる。このことから休暇村(NU.KKM)観測点においては 16:08:46頃の地震に伴う強振動によって局所的に加速度ステップが発生し、その応答のシグナルが図1に記録されていると解釈できる。
To examine this possibility further, let us consider the response of a broadband seismometer to an acceleration step. Suppose that an acceleration step occurred at NU.KKM (Fig. 2a) because of the strong motion. An apparent acceleration step can be realized by, for example, an abrupt tilting of the seismometer, which results in a step-wise change in the horizontal component of the gravitational acceleration. The corresponding velocity input is given by Fig. 2b, and the convolution of this waveform with the instrumental response of a broadband seismometer results in a velocity response waveform shown in Fig. 2c. Applying the same low-pass filter as Fig. 1 to this waveform and adjusting the timing and amplitude of the step results in Fig. 3, showing that the observed waveform is well fitted by the response of the broadband seismometer to an acceleration step. Therefore, the signal in Fig. 1 is interpreted as the result of an acceleration step due to the strong motion by the earthquake at 16:08:46.

図2. 加速度ステップ(a)が入力されたときの対応する入力速度波形(b)と応答波形(c)の模式図。
Fig. 2. A schematic illustration for (a) an input acceleration step, (b) the corresponding velocity input, and (c) the velocity response.

図3. 休暇村(NU.KKM)観測点の波形(青)と、図2cの波形にローパスフィルター(0.3 Hz)を掛けて時刻と振幅を調整した波形(赤)の比較。
Fig. 3. A comparison of an observed waveform at NU.KKM (blue) and the waveform of Fig. 2c low-pass filtered at 0.3 Hz and adjusted for the time and amplitude (red).

このプログラムでは波形データからこのような加速度ステップのシグナルを取り除く。処理内容を具体的に記述すると以下の通りである。
This program removes similar signals of acceleration steps from waveform data. The procedures are described below.

入力加速度ステップを$a_{in}(t)\equiv A_0 H(t-t_0)$とする。ここで$A_0$は加速度ステップの振幅、$t_0$は加速度ステップの時刻、 \[\begin{equation} H(t)= \begin{cases} 0 & (t\leq 0) \\ 1 & (t>0) \end{cases} \label{eq.H} \end{equation}\] はステップ関数である。
Let $a_{in}(t)\equiv A_0 H(t-t_0)$ be an input acceleration step, where $A_0$ and $t_0$ are the amplitude and time of the acceleration step, respectively, and $H(t)$ (Eq. \ref{eq.H}) is a step function.
対応する入力速度波形は$a_{in}(t)$を時間で積分することで得られ、 \[\begin{equation} v_{in}(t)= \begin{cases} 0 & (t\leq t_0) \\ A_0 (t-t_0) & (t>t_0) \end{cases} \label{eq.v_in} \end{equation}\] と表される。
The corresponding input velocity waveform is obtained by integrating $a_{in}(t)$ with time, and the result is expressed as Eq. (\ref{eq.v_in}).
一般に地震計の応答特性は伝達関数の極(pole)とゼロ点(zero)で表され、これらの値は地震計のデータシートで与えられる。しかし多くの代表的な広帯域地震計の伝達関数はおもりとバネとダンパーで構成される単純な地震計の伝達関数によって十分な精度で近似できる(補足1)。ここでは以下の運動方程式に従う固有角周波数$\omega_0$、ダンピング定数$h(<1)$の地震計を考える。 \[\begin{equation} \ddot{u}_r(t)+2\omega_0 h\dot{u}_r(t)+\omega_0^2 u_r(t)=-\ddot{u}_g(t) \label{eq.motion.seismometer} \end{equation}\] ここで$u_g(t)$は地面の運動の変位、 $u_r(t)$は地面に対する地震計の相対運動の変位を表す。通常、$u_g(t)$と$u_r(t)$は逆符号になるので $u_{out}(t)\equiv -u_r(t)$が地震計の出力信号として用いられる。この地震計に(\ref{eq.v_in})式の速度入力が与えられた場合 ($\dot{u}_g(t)=v_{in}(t)$)、対応する速度出力は \[\begin{equation} v_{out}(t)\equiv \dot{u}_{out}(t) =\frac{A_0}{\omega_0\sqrt{1-h^2}} H(t-t_0) e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \label{eq.v_out} \end{equation}\] となる(補足2、補足3)。
In general, the response of a seismometer is expressed by poles and zeroes of a transfer function, which are given by the data sheet of the seismometer. However, most of the transfer functions of widely used seismometers are approximated well by a transfer function of a simple seismometer composed of a mass, a spring, and a damper (Additional information 1). Here, we consider a seismometer with a natural angular frequency $\omega_0$ and a damping constant $h(<1)$ that follows an equation of motion of Eq. (\ref{eq.motion.seismometer}), where $u_g(t)$ is the displacement of the ground motion and $u_r(t)$ is the displacement of the motion of the seismometer relative to the ground. Because usually the signs of $u_g(t)$ and $u_r(t)$ are opposite, $u_{out}(t)\equiv -u_r(t)$ is used as the output signal of the seismometer. A velocity input of Eq. (\ref{eq.v_in}) to this seismometer ($\dot{u}_g(t)=v_{in}(t)$) results in a velocity output of Eq. (\ref{eq.v_out}) (Additional information 2 and 3).
(\ref{eq.v_out})式は時刻0における単位加速度ステップ($t_0=0$, $A_0=1$) に対する速度応答 \[\begin{equation} v_{ref}(t)\equiv \frac{1}{\omega_0\sqrt{1-h^2}} H(t) e^{-\omega_0 ht} \sin\left(\omega_0\sqrt{1-h^2}t\right) \label{eq.v_ref} \end{equation}\] を用いて \[\begin{equation} v_{out}(t)=A_0 v_{ref}(t-t_0) \label{eq.v_out.v_ref} \end{equation}\] と書ける。
Eq. (\ref{eq.v_out}) can be divided into Eqs. (\ref{eq.v_ref}) and (\ref{eq.v_out.v_ref}), where $v_{ref}(t)$ is the velocity response to a unit acceleration step at time 0 ($t_0=0$, $A_0=1$).
(\ref{eq.v_out.v_ref})式より、解析者が指定した区間$[t_{min},t_{max}]$における $v_{out}(t)$と観測波形$v_{obs}(t)$の残差は \[\begin{equation} E(A_0,t_0)\equiv\sqrt{ \frac{\int_{t_{min}}^{t_{max}} \left[v_{obs}(t)-A_0v_{ref}(t-t_0)\right]^2dt} {\int_{t_{min}}^{t_{max}}v_{obs}(t)^2dt}} \label{eq.E} \end{equation}\] と表される。このプログラムでは$E(A_0,t_0)$を最小にする$A_0$と$t_0$を求める。その上で観測波形から加速度ステップに対する速度応答波形を差し引いた波形 $v_{obs}(t)-A_0v_{ref}(t-t_0)$を出力する。
According to Eq. (\ref{eq.v_out.v_ref}), the residual between $v_{out}(t)$ and an observed waveform $v_{obs}(t)$ in a section $[t_{min},t_{max}]$ specified by the analyzer is given by Eq. (\ref{eq.E}). This program determines the optimal $A_0$ and $t_0$ that minimize $E(A_0,t_0)$ and output a waveform obtained by subtracting the velocity response to an acceleration step from the observed waveform ($v_{obs}(t)-A_0v_{ref}(t-t_0)$).
観測波形が加速度ステップ応答以外に強いシグナルを含んでいる場合には生波形に対して$E(A_0,t_0)$を最小化しても最適な$A_0$, $t_0$にならないので、 $v_{out}(t)$と$v_{ref}(t)$に対して共通のフィルター(解析者が指定する) を掛けた上で$E(A_0,t_0)$を最小にする$A_0$と$t_0$を求める。この場合、$A_0$, $t_0$の推定にはフィルターを掛けた波形を用いていても最終的に出力するのは生波形に対する$v_{obs}(t)-A_0v_{ref}(t-t_0)$である。
If the observed waveform consists of intense signals other than the response to an acceleration step, minimization of $E(A_0,t_0)$ for a raw waveform does not give optimal $A_0$ and $t_0$. In this case, the analyzer can specify a filter that is applied commonly to $v_{out}(t)$ and $v_{ref}(t)$. In this case, $A_0$ and $t_0$ that minimize $E(A_0,t_0)$ for the filtered waveform are determined. The final output for this case is $v_{obs}(t)-A_0v_{ref}(t-t_0)$ for raw waveforms, even though filtered waveforms were used to determine the optimal $A_0$ and $t_0$ values.
$E(A_0,t_0)$を最小にする$t_0$については解析者が指定した時刻範囲の網羅的な探索によって見つける(グリッドサーチ)。このグリッドサーチを行う時刻範囲は$[t_{min},t_{max}]$とは異なっていても良い。また、仮定した各$t_0$に対し、$E(A_0,t_0)$を最小にする$A_0$は \[\begin{equation} A_0=\frac{\int_{t_{min}}^{t_{max}}v_{obs}(t)v_{ref}(t-t_0)dt} {\int_{t_{min}}^{t_{max}}v_{ref}(t-t_0)^2 dt} \label{eq.A0} \end{equation}\] によって計算される(補足4)。
The optimal $t_0$ that minimizes $E(A_0,t_0)$ is determined by a grid search for all possible times of steps in a window specified by the analyzer; this time window for the grid search can be different from $[t_{min},t_{max}]$. For each assumed $t_0$, the optimal $A_0$ that minimizes $E(A_0,t_0)$ is determined by Eq. (\ref{eq.A0}) (Additional Information 4).

◆ソースコード(Source code)

$YMAEDA_OPENTOOL_DIR/sac_data/src/sacfile_remove_accStep_response.c

◆使用方法(Usage)

コマンドライン引数でパラメータを指定する。パラメータの一覧を下表に示す。
Specify parameters by command-line arguments. The table below shows a list of parameters.

●「-」から始まらない引数 (Arguments not beginning with “-”)

引数 Argument	与える値 Quantity to be given
第1引数 1st argument	入力SACデータファイル名。 The input SAC data file name.
第2引数 2nd argument	出力するSACファイル名 (加速度ステップに対する地震計応答のシグナルを除去した波形の出力先)。 The name of the output SAC file into which the corrected waveform, which does not include the signal of the instrumental response to an acceleration step, will be written.

●1つの「-」から始まる引数 (Arguments beginning with a single “-”)

このコマンドでは1つの「-」から始まる引数は存在しない。
This command does not have arguments beginning with a single “-”.

●「--パラメータ名=パラメータ値」の形式の引数 (Arguments of a form “--Parameter name=Parameter Value”)

「--パラメータ名=パラメータ値」の形式の引数は自由な順番で指定できる。「-」から始まらない引数の間に挿入しても良い。相反する指定がなされた場合には後の指定が優先される。デフォルト値を持つパラメータは省略できる。
Arguments of a form “--Parameter name=Parameter Value” can be placed in an arbitrary order. They can even be inserted between arguments not beginning with “-”. In case of conflicting options being specified, the latter option has a higher priority. Parameters that have default values can be omitted.

パラメータ名 Parameter name	意味 Meaning	可能なパラメータ値 Allowed parameter values	デフォルト値 Default value
naturalPeriod	地震計の固有周期(s)。 The natural period (s) of the seismometer.	正の実数。 A positive real number.	120.0
damping	地震計のダンピング定数。 The damping constant of the seismometer.	1未満の正の実数。 A positive real number less than 1.	0.7
tmin	(\ref{eq.E})式の$t_{min}$の値(s)。 The value of $t_{min}$ (s) in Eq. (\ref{eq.E}).	第1引数で指定した入力波形データの定義域内の実数。 A real number in the definition range of the input waveform data specified by the 1st argument.	入力波形データの先頭時刻。 The beginning time of the input waveform data.
tmax	(\ref{eq.E})式の$t_{max}$の値(s)。 The value of $t_{max}$ (s) in Eq. (\ref{eq.E}).	第1引数で指定した入力波形データの定義域内の実数($>t_{min}$)。 A real number ($>t_{min}$) in the definition range of the input waveform data specified by the 1st argument.	入力波形データの末尾時刻。 The end time of the input waveform data.
t0_search_min	$t_0$の探索範囲の下限(s)。 The lower limit (s) of the search range of $t_0$.	第1引数で指定した入力波形データの定義域内の実数。 A real number in the definition range of the input waveform data specified by the 1st argument.	入力波形データの先頭時刻。 The beginning time of the input waveform data.
t0_search_max	$t_0$の探索範囲の上限(s)。 The upper limit (s) of the search range of $t_0$.	第1引数で指定した入力波形データの定義域内の実数。パラメータt0_search_minの値以上でなければならない。 A real number in the definition range of the input waveform data specified by the 1st argument, greater than or equal to the value of parameter t0_search_min.	入力波形データの末尾時刻。 The end time of the input waveform data.
filter_type	$E(A_0,t_0)$の計算時に使用するフィルターの種類。 The type of the filter applied when computing $E(A_0,t_0)$.	raw 生波形を使用する。 Use a raw waveform. rmean 平均値を差し引いた波形を使用する。 Use a waveform with its mean removed. lp ローパスフィルターを掛けた波形を使用する。 Use a low-passed waveform. hp ハイパスフィルターを掛けた波形を使用する。 Use a high-passed waveform. bp バンドパスフィルターを掛けた波形を使用する。 Use a band-passed waveform.	raw
filter_phase	使用するフィルターの位相。 The phase of the filter.	minimum 最小位相フィルターを用いる。 Use a minimum phase filter. zero ゼロ位相フィルターを用いる。 Use a zero phase filter.	minimum
lpc	使用するローパスフィルターのコーナー周波数(Hz)。 The corner frequency (Hz) of the low-pass filter.	正の実数。 A positive real number.	パラメータfilter_typeの値としてlpまたはbpを指定した場合は省略不可。それ以外の場合はこのパラメータは用いられない。 Cannot be omitted when lp or bp was specified for parameter filter_type; in the other cases, this parameter is not used.
lpn	使用するローパスフィルターの極の個数。 The number of poles of the low-pass filter.	正の整数。ゼロ位相フィルターを用いる場合には偶数でなければならない。 A positive integer; this value must be an even number when a zero-phase filter is used.	2
hpc	使用するハイパスフィルターのコーナー周波数(Hz)。 The corner frequency (Hz) of the high-pass filter.	正の実数。パラメータlpcの値よりも小さくなければならない。 A positive real number less than the value of parameter hpc.	パラメータfilter_typeの値としてhpまたはbpを指定した場合は省略不可。それ以外の場合はこのパラメータは用いられない。 Cannot be omitted when hp or bp was specified for parameter filter_type; in the other cases, this parameter is not used.
hpn	使用するハイパスフィルターの極の個数。 The number of poles of the high-pass filter.	正の整数。ゼロ位相フィルターを用いる場合には偶数でなければならない。 A positive integer; this value must be an even number when a zero-phase filter is used.	2
v_out_file	$v_{out}(t)$の時系列データの出力先ファイル名。 The name of a file to output the time series data for $v_{out}(t)$.	ファイル名を表す文字列。ディレクトリパスを含んでいても良い。拡張子はymaeda_opentoolsの時系列データファイル形式 (独自のファイル形式参照) のいずれかでなければならない。 A string that represents a file name, possibly including a directory path. The extension must be that for one of the formats of a time series data file in ymaeda_opentools (see Special file formats).	省略時は$v_{out}(t)$の時系列データを出力しない。 When this parameter is omitted, a time series data for $v_{out}(t)$ is not written.
log_file	出力するログファイル名。推定した最適な$t_0$, $A_0$の値が出力される。 The name of a output file to record the optimal $t_0$ and $A_0$ values.	ファイル名を表す文字列。ディレクトリパスを含んでいても良い。テキストファイルであり拡張子は何でも良い。 A string that represents a file name, possibly including a directory path. This is a text file with an arbitrary extension.	省略時は最適な$t_0$, $A_0$の値を出力しない。 When this parameter is omitted, the optimal $t_0$ and $A_0$ values are not recorded.
log_level	パラメータlog_fileで指定したファイルに出力する情報。 The data to be recorded in the file specified by parameter log_file.	best 最適な$t_0$, $A_0$とそのときの$E(A_0,t_0)$の値のみを出力する。 Output only the optimal $t_0$, $A_0$, and $E(A_0,t_0)$ values. all 探索した全ての$t_0$について、その$t_0$を仮定したときの最適な$A_0$と $E(A_0,t_0)$の値を出力する。 Output the optimal $A_0$ and $E(A_0,t_0)$ values for all $t_0$ searched. いずれの場合も第1列に$t_0$、第2列に$A_0$、第3列に$E(A_0,t_0)$がダブ区切りで出力される。 In either cases, the values of $t_0$, $A_0$, and $E(A_0,t_0)$ are written into the 1st to 3rd columns, respectively. The columns are separated by tabs.	best

◆動作(Behaviour)

第1引数で指定したファイルから観測波形$v_{obs}(t)$を読み込み、最適な$t_0$と$A_0$を求めて $v_{obs}(t)-A_0 v_{ref}(t-t_0)$の波形を第2引数で指定したファイルに出力する。
Read an observed waveform $v_{obs}(t)$ from the file specified by the 1st argument, determine optimal $t_0$ and $A_0$ values, and output an waveform of $v_{obs}(t)-A_0 v_{ref}(t-t_0)$ into the file specified by the 2nd argument.

◆使用例(Example)

sacfile_remove_accStep_response NU.KKM.R.sac NU.KKM.R.corrected.sac --tmin=480.0 --tmax=780.0 --t0_search_min=480.0 --t0_search_max=600.0 --filter_type=lp --lpc=0.3 --lpn=4 --log_file=best_parameters.txt

◆補足(Additional information)

1. 地震計の伝達関数の比較 (Comparison of transfer functions of seismometers)

おもりとバネとダンパーで構成される単純な地震計の伝達関数を導出する。 (\ref{eq.motion.seismometer})式に$u_{out}(t)=-u_r(t)$を代入すると \[\begin{equation} \ddot{u}_{out}(t)+2\omega_0 h\dot{u}_{out}(t)+\omega_0^2 u_{out}(t) =\ddot{u}_g(t) \label{eq.seismometer.in_out} \end{equation}\] となる。$u_g(t)$のフーリエスペクトルを$U_g(\omega)$、 $u_{out}(t)$のフーリエスペクトルを$U_{out}(\omega)$とすると (\ref{eq.seismometer.in_out})式の周波数領域での表現は \[\begin{equation} -\omega^2 U_{out}(\omega) +2i\omega\omega_0 h U_{out}(\omega) +\omega_0^2 U_{out}(\omega) =-\omega^2 U_g(\omega) \label{eq.seismometer.in_out.spectrum} \end{equation}\] となり、出力と入力のフーリエスペクトルの比である伝達関数は \[\begin{equation} T(\omega)\equiv\frac{U_{out}(\omega)}{U_g(\omega)} =\frac{\omega^2}{\omega^2-2i\omega\omega_0 h-\omega_0^2} \label{eq.transfer} \end{equation}\] となる。固有周期120 s($\omega_0=2\pi/T_0$, $T_0=120$ s)、ダンピング定数$h=0.7$の地震計について (\ref{eq.transfer})式の$T(\omega)$を計算すると図4の黒線が得られる。
Let us derive the transfer function for a simple seismometer composed of a mass, a spring, and a damper. Inserting $u_{out}(t)=-u_r(t)$ into Eq. (\ref{eq.motion.seismometer}) results in Eq. (\ref{eq.seismometer.in_out}), which is expressed in the frequency domain as Eq. (\ref{eq.seismometer.in_out.spectrum}), where $U_g(\omega)$ and $U_{out}(\omega)$ are the Fourier spectra of $u_g(t)$ and $u_{out}(t)$, respectively. The transfer function, defined as the ratio of output to input Fourier spectra, is given by Eq. (\ref{eq.transfer}). The black line in Fig. 4 is $T(\omega)$ calculated from Eq. (\ref{eq.transfer}) for a seismometer with a natural period of 120 s ($\omega_0=2\pi/T_0$, $T_0=120$ s) and a damping constant $h=0.7$.

これを固有周期120 sの代表的な3つの広帯域地震計 (STS2 Generation 3, CMG-3T 120 sec, Trillium 120PA) の伝達関数と比較する(図4)。これらの伝達関数はPASSCAL Instrument Centerホームページに2023/1/5時点で掲載されていた地震計の極(pole)とゼロ点(zero)を用いて計算したものである。但し、定数係数は不明であったので1 Hzでの振幅応答が1になるように定数係数を与えた。図4を見ると1 Hzから高周波側で伝達関数に相違が見られるものの、広帯域地震計の主要な用途である1 Hzから低周波側の帯域においては 4種類の地震計の伝達関数は振幅、位相ともよく一致している。このことから(\ref{eq.motion.seismometer})式で表される単純な地震計で近似しても大きな支障は無いと思われる。
Let us compare this $T(\omega)$ with the transfer functions for three representative broadband seismometers with a natural period of 120 s (STS2 Generation 3, CMG 3T 120sec, and Trillium 120PA; Fig. 4). These transfer functions were computed from the poles and zeroes of the seismometers in the website of PASSCAL Instrument Center (accessed on January 5, 2023); the constant factor (which was not available in the website) was determined so that the amplitude response is unity at 1 Hz. Fig. 4 shows excellent matches among the transfer functions of the four seismometers, both in the amplitudes and phases, in a frequency band below 1 Hz that is mainly used in the analyses of broadband seismic records, although there are some discrepancies in higher frequencies. Therefore, it is likely that the use of Eq. (\ref{eq.motion.seismometer}) for a simple seismometer does not cause significant errors in the results.

図4. 固有周期120 sの4つの広帯域地震計の伝達関数の比較。黒: (\ref{eq.transfer})式に基づく単純な地震計($h=0.7$)、赤: STS2 Generation 3、緑: CMG-3T 120 sec、青: Trillium 120Pa。
Fig. 4. A comparison of the transfer functions of four broadband seismometers with a natural period of 120 s. Black: a simple seismometer based on Eq. (\ref{eq.transfer}) with $h=0.7$; red: STS2 Generation 3; green: CMG-3T 120 sec; blue: Trillium 120Pa.

2. (\ref{eq.v_out})式の導出 (Derivation of Eq. \ref{eq.v_out})

(\ref{eq.seismometer.in_out})式の両辺を時間で微分し、 $\dot{u}_{out}(t)=v_{out}(t)$、 $\dot{u}_g(t)=v_{in}(t)$を代入すると \[\begin{equation} \ddot{v}_{out}(t)+2\omega_0 h\dot{v}_{out}(t)+\omega_0^2 v_{out}(t) =\ddot{v}_{in}(t)=A_0\delta(t-t_0) \label{eq.seismometer.v_out} \end{equation}\] を得る。但し2つ目の等号では(\ref{eq.v_in})式を用いた。
Differentiating the both hand sides of Eq. (\ref{eq.seismometer.in_out}) by time and inserting $\dot{u}_{out}(t)=v_{out}(t)$ and $\dot{u}_g(t)=v_{in}(t)$ into the result gives Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}); the 2nd equality is based on Eq. (\ref{eq.v_in}).

(\ref{eq.seismometer.v_out})式の右辺を0で置き換えた方程式を考える。その解を$v_1(t)$とおくと \[\begin{equation} \ddot{v}_1(t)+2\omega_0 h\dot{v}_1(t)+\omega_0^2 v_1(t)=0 \label{eq.relation_for_v1} \end{equation}\] である。 \[\begin{equation} v_1(t)=C_1e^{\eta t} \label{eq.v1} \end{equation}\] とおいて(\ref{eq.relation_for_v1})式に代入すると \[\begin{equation} \eta^2+2\omega_0 h\eta+\omega_0^2=0 \label{eq.eta.condition} \end{equation}\] となるので \[\begin{eqnarray} \eta &=& -\omega_0 h\pm\sqrt{\omega_0^2 h^2-\omega_0^2} \nonumber \\ &=& -\omega_0 h \pm i\omega_0 \sqrt{1-h^2} \label{eq.eta} \end{eqnarray}\] であることが分かる。
Consider an equation obtained by replacing the right hand side of Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}) by zero. Let $v_1(t)$ be the solution of this equation, as expressed by Eq. (\ref{eq.relation_for_v1}). Inserting Eq. (\ref{eq.v1}) into (\ref{eq.relation_for_v1}) results in (\ref{eq.eta.condition}), which can be solved for $\eta$ as (\ref{eq.eta}).

このことを踏まえて、(\ref{eq.seismometer.v_out})式の解として (\ref{eq.v1})式の右辺の定数$C_1$を時間の関数$C_1(t)$で置き換えた形を考えて \[\begin{equation} v_{out}(t)=C_1(t)e^{\eta t} \label{eq.v_out.C1} \end{equation}\] とおく。このとき \[\begin{equation} \dot{v}_{out}(t)=\dot{C}_1(t)e^{\eta t}+C_1(t)\eta e^{\eta t} \label{eq.v_out_dot.C1} \end{equation}\] \[\begin{equation} \ddot{v}_{out}(t) =\ddot{C}_1(t)e^{\eta t} +2\dot{C}_1(t)\eta e^{\eta t} +C_1(t)\eta^2 e^{\eta t} \label{eq.v_out_ddot.C1} \end{equation}\] であり、(\ref{eq.v_out.C1})-(\ref{eq.v_out_ddot.C1})を (\ref{eq.seismometer.v_out})に代入して \[\begin{equation} \ddot{C}_1(t)e^{\eta t} +(2\eta+2\omega_0 h)\dot{C}_1(t)e^{\eta t} +(\eta^2+2\omega_0 h\eta+\omega_0^2)C_1(t)e^{\eta t} =A_0\delta(t-t_0) \label{eq.seismometer.C1} \end{equation}\] を得る。(\ref{eq.seismometer.C1})式の左辺第3項は (\ref{eq.eta.condition})式より0であるので \[\begin{equation} \ddot{C}_1(t) +(2\eta+2\omega_0 h)\dot{C}_1(t) =A_0\delta(t-t_0)e^{-\eta t} \label{eq.C1.condition} \end{equation}\] を得る。
The solution of Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}) is obtained by replacing the constant $C_1$ in the right hand side of Eq. (\ref{eq.v1}) by a function of time $C_1(t)$, as expressed by Eq. (\ref{eq.v_out.C1}). The derivatives of this solution form are expressed as Eqs. (\ref{eq.v_out_dot.C1}) and (\ref{eq.v_out_ddot.C1}). Inserting Eqs. (\ref{eq.v_out.C1})-(\ref{eq.v_out_ddot.C1}) into (\ref{eq.seismometer.v_out}) results in (\ref{eq.seismometer.C1}), which reduces to (\ref{eq.C1.condition}) because the 3rd term of the left hand side of Eq. (\ref{eq.seismometer.C1}) is zero (Eq. \ref{eq.eta.condition}).

(\ref{eq.C1.condition})式を$\dot{C_1}(t)$について解くために (\ref{eq.C1.condition})式の右辺を0で置き換えた方程式を考える。その解を$v_2(t)$とおくと \[\begin{equation} \dot{v}_2(t)+(2\eta+2\omega_0 h)v_2(t)=0 \label{eq.relation_for_v2} \end{equation}\] である。(\ref{eq.relation_for_v2})式を$v_2(t)$について解くのは容易であり \[\begin{equation} v_2(t)=C_2 e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t} \label{eq.v2} \end{equation}\] となる。
To solve Eq. (\ref{eq.C1.condition}) for $\dot{C_1}(t)$, consider an equation obtained by replacing the right hand side of Eq. (\ref{eq.C1.condition}) by zero. Let the solution of this equation be $v_2(t)$. Then, Eq. (\ref{eq.relation_for_v2}) holds, which can easily be solved for $v_2(t)$ as (\ref{eq.v2}).

(\ref{eq.C1.condition})式の解$\dot{C}_1(t)$として (\ref{eq.v2})式の右辺の定数$C_2$を時間の関数$C_2(t)$で置き換えた形 \[\begin{equation} \dot{C}_1(t)=C_2(t)e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t} \label{eq.C1dot.C2} \end{equation}\] を考える。このとき \[\begin{equation} \ddot{C}_1(t)=\dot{C}_2(t)e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t} -C_2(t)(2\eta+2\omega_0 h)e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t} \label{eq.C1ddot.C2} \end{equation}\] であり、(\ref{eq.C1dot.C2})(\ref{eq.C1ddot.C2})を (\ref{eq.C1.condition})に代入して \[\begin{equation} \dot{C}_2(t)e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t} =A_0\delta(t-t_0)e^{-\eta t} \label{eq.C2.condition} \end{equation}\] を得る。これより \[\begin{equation} \dot{C}_2(t) =A_0\delta(t-t_0)e^{(\eta+2\omega_0 h)t} \label{eq.C2dot} \end{equation}\] であるので、$\dot{C}_2(-\infty)=0$であるものとして (\ref{eq.C2dot})式の両辺を積分すると \[\begin{eqnarray} C_2(t) &=& A_0\int_{-\infty}^t \delta(t’-t_0)e^{(\eta+2\omega_0 h)t’}dt’ \nonumber \\ &=& \begin{cases} 0 & (t<t_0) \\ A_0 e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0} & (t> t_0) \end{cases} \nonumber \\ &=& A_0 e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0}H(t-t_0) \label{eq.C2} \end{eqnarray}\] を得る。
The solution of Eq. (\ref{eq.C1.condition}) for $\dot{C}_1(t)$ is obtained by replacing the constant $C_2$ in the right hand side of Eq. (\ref{eq.v2}) by a function of time $C_2(t)$, as expressed by Eq. (\ref{eq.C1dot.C2}). Differentiating this equation by time results in Eq. (\ref{eq.C1ddot.C2}), and inserting Eqs. (\ref{eq.C1dot.C2}) and (\ref{eq.C1ddot.C2}) into (\ref{eq.C1.condition}) results in (\ref{eq.C2.condition}), which can be solved for $\dot{C}_2(t)$ as (\ref{eq.C2dot}). Integrating the both hand sides of this equation by time, assuming $\dot{C}_2(-\infty)=0$, results in Eq. (\ref{eq.C2}).

(\ref{eq.C2})を(\ref{eq.C1dot.C2})に代入すると \[\begin{equation} \dot{C}_1(t)=A_0 e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0}H(t-t_0)e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t} \label{eq.C1dot} \end{equation}\] となり、$C_1(-\infty)=0$であるものとして(\ref{eq.C1dot})式の両辺を積分すると \[\begin{eqnarray} C_1(t) &=& A_0 e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0} \int_{-\infty}^t H(t’-t_0)e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t’}dt’ \nonumber \\ &=& \begin{cases} 0 & (t<t_0) \\ A_0 e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0}\int_{t_0}^t e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t’}dt’ & (t>t_0) \end{cases} \nonumber \\ &=& A_0 H(t-t_0) e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0} \int_{t_0}^t e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t’}dt’ \nonumber \\ &=& \frac{A_0}{-(2\eta+2\omega_0 h)} H(t-t_0) e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0} \left[e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t}-e^{-(2\eta+2\omega_0 h)t_0}\right] \nonumber \\ &=& \frac{A_0}{2\eta+2\omega_0 h} H(t-t_0) \left[e^{-\eta t_0}-e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0-(2\eta+2\omega_0 h)t}\right] \label{eq.C1} \end{eqnarray}\] となる。この結果を(\ref{eq.v_out.C1})に代入して \[\begin{eqnarray} v_{out}(t) &=& \frac{A_0}{2\eta+2\omega_0 h} H(t-t_0) \left[e^{-\eta t_0}-e^{(\eta+2\omega_0 h)t_0-(2\eta+2\omega_0 h)t}\right] e^{\eta t} \nonumber \\ &=& \frac{A_0}{2\eta+2\omega_0 h} H(t-t_0) \left[e^{\eta(t-t_0)}-e^{-(\eta+2\omega_0 h)(t-t_0)}\right] \label{eq.v_out.eta} \end{eqnarray}\] を得る。(\ref{eq.eta})を(\ref{eq.v_out.eta})に代入すると \[\begin{eqnarray} v_{obs}(t) &=& \frac{A_0}{\pm 2i\omega_0\sqrt{1-h^2}}H(t-t_0) \left[ e^{\left(-\omega_0 h\pm i\omega_0\sqrt{1-h^2}\right)(t-t_0)} -e^{-\left(\omega_0 h\pm i\omega_0\sqrt{1-h^2}\right)(t-t_0)} \right] \nonumber \\ &=& \frac{A_0}{\pm 2i\omega_0\sqrt{1-h^2}}H(t-t_0)e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \left[e^{\pm i\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)} -e^{\mp i\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)}\right] \nonumber \\ &=& \frac{A_0}{2i\omega_0\sqrt{1-h^2}}H(t-t_0)e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \left[e^{i\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)} -e^{-i\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)}\right] \nonumber \\ &=& \frac{A_0}{2i\omega_0\sqrt{1-h^2}}H(t-t_0)e^{-\omega_0 h(t-t_0)}\cdot 2i\sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ &=& \frac{A_0}{\omega_0\sqrt{1-h^2}} H(t-t_0) e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \label{eq.v_out.derived} \end{eqnarray}\] となって(\ref{eq.v_out})式が得られる。
Inserting Eq. (\ref{eq.C2}) into (\ref{eq.C1dot.C2}) results in (\ref{eq.C1dot}). Integrating the both hand sides of this equation assuming $C_1(-\infty)=0$ results in (\ref{eq.C1}). Inserting this equation into (\ref{eq.v_out.C1}) results in (\ref{eq.v_out.eta}), and inserting Eq. (\ref{eq.eta}) into (\ref{eq.v_out.eta}) results in (\ref{eq.v_out.derived}), which is identical to Eq. (\ref{eq.v_out}).

3. (\ref{eq.v_out})式の検算 (Examination of Eq. \ref{eq.v_out})

(\ref{eq.v_out})式が (\ref{eq.seismometer.v_out})を満たしていることは以下のように検算できる。
It is confirmed that Eq. (\ref{eq.v_out}) satisfies (\ref{eq.seismometer.v_out}) as follows.

$t<t_0$のとき、(\ref{eq.v_out})式は$v_{out}(t)=0$となるので (\ref{eq.seismometer.v_out})式が成り立つ。
When $t<t_0$, Eq. (\ref{eq.v_out}) reduces to $v_{out}(t)=0$, which satisfies Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}).

$t>t_0$のとき、(\ref{eq.v_out})式は \[\begin{eqnarray} v_{out}(t) &=& \frac{A_0}{\omega_0\sqrt{1-h^2}} e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \label{eq.v_out.positive} \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \dot{v}_{out}(t) &=& \frac{-hA_0}{\sqrt{1-h^2}} e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ & & +A_0 e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \cos\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \label{eq.v_out_dot.positive} \end{eqnarray}\] \[\begin{eqnarray} \ddot{v}_{out}(t) &=& \frac{\omega_0 h^2A_0}{\sqrt{1-h^2}} e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ & & -2\omega_0 hA_0 e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \cos\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ & & -\omega_0\sqrt{1-h^2}A_0 e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \label{eq.v_out_ddot.positive} \end{eqnarray}\] となるので(\ref{eq.seismometer.v_out})式の左辺は \[\begin{eqnarray} & & \ddot{v}_{out}(t)+2\omega_0 h\dot{v}_{out}(t)+\omega_0^2 v_{out}(t) \nonumber \\ &=& \frac{\omega_0 h^2A_0}{\sqrt{1-h^2}} e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ & & -2\omega_0 hA_0 e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \cos\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ & & -\omega_0\sqrt{1-h^2}A_0 e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ & & -\frac{2\omega_0 h^2A_0}{\sqrt{1-h^2}} e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ & & +2\omega_0 hA_0 e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \cos\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ & & +\frac{\omega_0A_0}{\sqrt{1-h^2}} e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ &=& \frac{\omega_0 A_0}{\sqrt{1-h_2}} \left[h^2-(1-h^2)-2h^2+1\right] e^{-\omega_0 h(t-t_0)} \sin\left[\omega_0\sqrt{1-h^2}(t-t_0)\right] \nonumber \\ &=& 0 \label{eq.seismometer.v_out.left.positive} \end{eqnarray}\] となる。したがって(\ref{eq.seismometer.v_out})式が成り立つ。
When $t>t_0$, Eq. (\ref{eq.v_out}) reduces to Eqs. (\ref{eq.v_out.positive})-(\ref{eq.v_out_ddot.positive}). Therefore, the left hand side of Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}) is calculated as (\ref{eq.seismometer.v_out.left.positive}), and hence, Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}) holds.

$t=t_0$の場合に関しては導出過程(例えば\ref{eq.C2}式)において厳密に考慮できていないため (\ref{eq.v_out})式を単純に微分しても (\ref{eq.seismometer.v_out})式は得られない。しかし以下の考え方で(\ref{eq.seismometer.v_out})式が得られる。まず(\ref{eq.v_out.positive})式で$t\rightarrow t_0$とすると $v_{out}(t)\rightarrow 0$となる。すなわち \[\begin{equation} \lim_{t\rightarrow t_0+0}v_{out}(t) =\lim_{t\rightarrow t_0-0}v_{out}(t) =0 \label{eq.v_out.t0} \end{equation}\] であるので$v_{out}(t_0)=0$であると見なすことができる。同様に(\ref{eq.v_out_dot.positive})式より \[\begin{equation} \lim_{t\rightarrow t_0+0}\dot{v}_{out}(t)=A_0 \label{eq.v_out_dot.t0.positive} \end{equation}\] であり、一方で \[\begin{equation} \lim_{t\leftarrow t_0-0}\dot{v}_{out}(t)=0 \label{eq.v_out_dot.t0.negative} \end{equation}\] であるので、$\dot{v}_{out}(t_0)$は有限の不定値である。また(\ref{eq.v_out_dot.t0.positive})(\ref{eq.v_out_dot.t0.negative})式より $t=t_0$の近傍では$\dot{v}(t)\sim A_0 H(t-t_0)$であり、したがって$\ddot{v}(t)\sim A_0\delta(t-t_0)$であることが分かる。このことから$t=t_0$においては$\ddot{v}_{out}(t)=\infty$であり、 $\dot{v}_{out}(t)$からの寄与は無視できて \[\begin{equation} \lim_{t\rightarrow t_0} \left[\ddot{v}_{out}(t)+2\omega_0 h\dot{v}_{out}(t)+\omega_0^2 v_{out}(t)\right] \sim \lim_{t\rightarrow t_0}\ddot{v}_{out}(t) =A_0\delta(t-t_0) \label{eq.seismometer.v_out.t0} \end{equation}\] となり(\ref{eq.seismometer.v_out})式が成り立つ。
When $t=t_0$, a simple differentiation of Eq. (\ref{eq.v_out}) does not yield Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}) because of treatments that are not strict at $t=t_0$ in the derivation (e.g., Eq. \ref{eq.C2}). However, Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}) is confirmed as follows. First, taking the limit of $t\rightarrow t_0$ in Eq. (\ref{eq.v_out.positive}) results in $v_{out}(t)\rightarrow 0$, leading to Eq. (\ref{eq.v_out.t0}) and thus $v_{out}(t_0)=0$. In the same way, Eq. (\ref{eq.v_out_dot.positive}) reduces to (\ref{eq.v_out_dot.t0.positive}), while Eq. (\ref{eq.v_out_dot.t0.negative}), meaning that $\dot{v}_{out}(t_0)$ is a finite, non-definite value. Eqs. (\ref{eq.v_out_dot.t0.positive}) and (\ref{eq.v_out_dot.t0.negative}) suggest that $\dot{v}_{out}(t)\sim A_0 H(t-t_0)$ near $t=t_0$, leading to $\ddot{v}_{out}(t)\sim A_0\delta(t-t_0)$. Because this value is infinite at $t=t_0$, the contribution from $\dot{v}_{out}(t)$ can be ignored, resulting in Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out.t0}). Therefore, Eq. (\ref{eq.seismometer.v_out}) holds.

4. (\ref{eq.A0})式の導出 (Derivation of Eq. \ref{eq.A0})

$E(A_0,t_0)$を最小化するには \[\begin{equation} R^2(A_0,t_0)\equiv \int_{t_{min}}^{t_{max}}\left[v_{obs}(t)-A_0v_{ref}(t-t_0)\right]^2dt \label{eq.R2} \end{equation}\] を最小化すれば良いので \[\begin{eqnarray} \PartialDiff{R^2}{A_0} &=& \int_{t_{min}}^{t_{max}} 2\left[v_{obs}(t)-A_0v_{ref}(t-t_0)\right] \left[-v_{ref}(t-t_0)\right]dt \nonumber \\ &=& 2\int_{t_{min}}^{t_{max}}v_{obs}(t)v_{ref}(t-t_0)dt -2A_0\int_{t_{min}}^{t_{max}}v_{ref}(t-t_0)^2 dt \nonumber \\ &=& 0 \label{eq.R2min} \end{eqnarray}\] より(\ref{eq.A0})式を得る。
$E(A_0,t_0)$ is minimized by minimizing $R^2(A_0,t_0)$ (Eq. \ref{eq.R2}), which is realized by Eq. (\ref{eq.R2min}). From this, Eq. (\ref{eq.A0}) is derived.

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