cross_spectrum_distance_fixFreqコマンドマニュアル

(The documentation of cross_spectrum_distance_fixFreq command)

Last Update: 2023/12/12

◆機能・用途(Purpose)

多数観測点間の波形のクロススペクトルを 1つの周波数における観測点間距離の関数として整理する。
Reformat the cross spectra among multiple stations as a function of inter-station distance at a given frequency.

◆概要(Overview)

このプログラムは cross_spectrum_multiコマンドに引き続いて使用することを想定している。 cross_spectrum_multiコマンドでは多数の観測点ペアでのクロススペクトルを計算する。 $n$番目の観測点の波形のフーリエスペクトルを$F_n(\omega)$として、 cross_spectrum_multiコマンドで出力する量は $F_n(\omega)^{∗}F_m(\omega)$ である。ここで$\omega$は角周波数、$^{∗}$は複素共役を表す。
This program is assumed to be used after the cross_spectrum_multi command, which computes the cross spectra among numerous stations $F_n(\omega)^{∗}F_m(\omega)$, where $F_n(\omega)$ is the Fourier spectrum of the waveform at $n$th station, $\omega$ is an angular frequency, and $^{∗}$ represents a complex conjugate.

クロススペクトルは地下構造の推定に用いられる。その際はクロススペクトルを観測点間距離の関数と見なす場合が多い。観測点$n$と$m$の間の距離を$r_{nm}$として $C(\omega,r_{nm})=F_n(\omega)^{∗}F_m(\omega)$ である。厳密にはクロススペクトルは観測点間の方位や観測点自体の絶対位置によっても異なるが、通常その依存性は地下構造推定時には無視される。
The cross spectra are used to estimate a subsurface structure assuming that the cross spectra are a function of inter-station distances. The cross spectra are, therefore, expressed as $C(\omega,r_{nm})=F_n(\omega)^{∗}F_m(\omega)$, where $r_{nm}$ is the distance between $n$th and $m$th stations. Strictly, the cross spectra depend on the inter-station azimuths and absolute locations of stations, but this dependency is usually ignored in the estimation of a subsurface structure.

Aki (1957)は空間自己相関関数(ラグタイム0のクロススペクトル)がベッセル関数$J_0(\omega r/c(\omega))$になることを理論的に示した。ここで$r$は観測点間距離、 $c(\omega)$は角周波数$\omega$における表面波の位相速度である。同様の性質がクロススペクトルに対しても成り立つこと \[\begin{equation} \frac{C(\omega,r)}{C(\omega,0)}=J_0(\omega r/c(\omega)) \label{eq.bessel} \end{equation}\] が容易に示せる(下記「数学的背景」参照)。
Aki (1957) theoretically showed that the spatial autocorrelation function (the cross spectra at zero lag time) reduces to a Bessel function $J_0(\omega r/c(\omega))$, where $r$ as an inter-station distance and $c(\omega)$ is the phase velocity of the surface wave at an angular frequency $\omega$. It is easily shown that the same argument holds for the cross spectrum (Eq. \ref{eq.bessel}); see “Mathematical background” below.

クロススペクトルを用いて地下構造を推定するアルゴリズムの多くは (\ref{eq.bessel})式を利用する。すなわち、実際のクロススペクトルのデータが (\ref{eq.bessel})式とよくフィットするように$c(\omega)$を求め、次にその$c(\omega)$を用いて地下の地震波速度構造を得る。この推定の成否は実際のクロススペクトルが (\ref{eq.bessel})式でよく近似できるか否かによって決まる。角周波数$\omega$を固定してクロススペクトルを距離$r$の関数として見たときにベッセル関数で近似できる形状になっていれば (\ref{eq.bessel})式に合うように$c(\omega)$を選ぶことができる。反対に、距離$r$の関数としてのクロススペクトルがベッセル関数からかけ離れた形状であれば $c(\omega)$をどのように選んでも(\ref{eq.bessel})式でよくフィットできず、したがって$c(\omega)$を精度良く求めることができない。
Eq. (\ref{eq.bessel}) is widely used to estimate a subsurface structure from cross spectra. An actual cross spectral data is fitted by Eq. (\ref{eq.bessel}) to estimate $c(\omega)$, which is then used to estimate a seismic velocity structure in the underground. The success of this procedure depends on whether the actual cross spectra are approximated by Eq. (\ref{eq.bessel}). If the cross spectra for a fixed angular frequency $\omega$, as a function of inter-station distances $r$, resembles a Bessel function, $c(\omega)$ is well constrained by fitting the data with Eq. (\ref{eq.bessel}). On the contrary, $c(\omega)$ is poorly determined if the shape of the actual cross spectra, as a function of $r$, is apart from that of a Bessel function; in this case, the data is not well fitted by Eq. (\ref{eq.bessel}) for any choice of $c(\omega)$.

したがって、$c(\omega)$の推定の成否と信頼性を評価する上で実際のクロススペクトルのデータを距離$r$の関数として見ることは重要である。 cross_spectrum_multiコマンドの出力は観測点ペア毎に別々のファイルに格納されたクロススペクトルであるので、 $r$を固定して$\omega$の関数としてクロススペクトル$C(\omega,r)$を見るのに適している。このプログラムではそのデータを $\omega$を固定して$r$の関数として見るのに適した形に整理する。
Therefore, it is essential to look at an actual cross spectral data as a function of distance $r$ for evaluating the successibility and reliability of the estimation of $c(\omega)$. The output of cross_spectrum_multi command is the cross spectrum for each station pair in a separate file. These files provide the cross spectra for a fixed $r$ as a function of $\omega$. This program reformats the files into the cross spectral data for a fixed $\omega$ as a function of $r$.

◆ソースコード(Source code)

$YMAEDA_OPENTOOL_DIR/structural_survey/src/cross_spectrum_distance_fixFreq.c

◆使用方法(Usage)

コマンドライン引数でパラメータを指定する。パラメータの一覧を下表に示す。
Specify parameters by command-line arguments. The table below shows a list of parameters.

●「-」から始まらない引数 (Arguments not beginning with “-”)

引数 Argument	与える値 Quantity to be given
第1引数 1st argument	読み込むクロススペクトルデータのディレクトリパス。このディレクトリは cross_spectrum_multiコマンドから出力されたもの、またはそれと完全に同一のディレクトリ構造およびファイル書式を持つものでなければならない。 The directory path of the input cross spectral data. This directory must have been created by cross_spectrum_multi command, or must have exactly the same directory structure and file formats as those created by the command.
第2引数 2nd argument	出力ファイル名。拡張子は何でも良い。 The output file name, with an arbitrary extension.

●1つの「-」から始まる引数 (Arguments beginning with a single “-”)

このコマンドでは1つの「-」から始まる引数は存在しない。
This command does not have arguments beginning with a single “-”.

●「--パラメータ名=パラメータ値」の形式の引数 (Arguments of a form “--Parameter name=Parameter Value”)

「--パラメータ名=パラメータ値」の形式の引数は自由な順番で指定できる。「-」から始まらない引数の間に挿入しても良い。相反する指定がなされた場合には後の指定が優先される。デフォルト値を持つパラメータは省略できる。
Arguments of a form “--Parameter name=Parameter Value” can be placed in an arbitrary order. They can even be inserted between arguments not beginning with “-”. In case of conflicting options being specified, the latter option has a higher priority. Parameters that have default values can be omitted.

パラメータ名 Parameter name	意味 Meaning	可能なパラメータ値 Allowed parameter values	デフォルト値 Default value
station_list_file	解析に使用する観測点のリストファイル名。第1列に観測点コード第2列にその観測点の成分コード第3列に観測点の$x$座標(基準点から東方向、m) 第4列に観測点の$y$座標(基準点から北方向、m) 第5列に観測点の$z$座標(標高、m) を書き並べる。列の区切りにはタブを用いる。空行、各行の#から後の部分はコメントとして読み飛ばされるので自由に挿入できる。 The name of a file that lists the stations used in the analysis. Write a station code in the 1st column, the component code for the station in the 2nd column, the $x$-coordinate of the station (east from the reference point, m) in the 3rd column, the $y$-coordinate of the station (north from the reference point, m) in the 4th column, and the $z$-coordinate of the station (altitude, m) in the 5th column. Use tabs to separate the columns. Empty lines and parts after # in each line are ignored as comments.	ファイル名を表す文字列。ディレクトリパスを含んでいても良い。 A string that represents a file name, possibly including the directory path.	省略不可 Cannot be omitted
extension	読み込むクロススペクトルのファイルの書式(拡張子)。 The extension for the input cross spectral file format.	ymaeda_opentoolsのスペクトルファイル形式のいずれかに対応する拡張子 (独自のファイル形式参照)。 One of the extensions for the spectral file formats of ymaeda_opentools; see special file formats.	bimseq
freq	クロススペクトルを出力する周波数(Hz)。 The frequency (Hz) of the cross spectrum to output.	第1引数で指定したクロススペクトルの周波数範囲にある非負の実数。 A non-negative real number within the frequency range of the cross spectra specified by the 1st argument.	省略不可 Cannot be omitted
normalize	規格化の方法。 Method of normalization.	none クロススペクトルを規格化しない。 Do not normalize the cross spectra. Nstack クロススペクトルをスタック数で割る。 ⁽¹⁾ Divide the cross spectra by the number of stacks. ⁽¹⁾ ACF 自己相関関数のスペクトルを用いてクロススペクトルを規格化する。 ⁽²⁾ Normalize the cross spectrum by the spectra of auto correlation functions. ⁽²⁾ Nstack_ACF クロススペクトルをまずスタック数で割った上で自己相関関数のスペクトルを用いて規格化する。 Divide the cross spectra by the number of stacks, and then normalize by the spectra of auto correlation functions.	none

cross_spectrum_multiコマンドから出力されるクロススペクトルは個々の期間のファイルから求めたクロススペクトルの (平均ではなく)和になっている。観測点間でデータ期間(スタック数)に大きな差異がある場合、距離$r$が同程度であってもデータ期間の長い観測点ペアほど振幅が大きくなる。そのためクロススペクトルをそのまま (\ref{eq.bessel})式と比較することはできない。 --normalize=Nstackオプションを用いると和を平均に直すことができるので $\ref{eq.bessel})式との比較が可能になる。
The cross_spectrum_multi command outputs the cross spectra that are summed (not averaged) over the unit data periods. If the data periods (the numbers of stacks) differ significantly among the stations, station pairs that have longer data periods tend to have larger cross spectral amplitudes than the pairs at similar distances \(r$. Therefore, the cross spectra cannot directly be compared with Eq. (\ref{eq.bessel}). The --normalize=Nstack corrects the summed cross spectra to averaged ones, thereby enabling the comparison with Eq. (\ref{eq.bessel}).
観測点$n$と$m$の間のクロススペクトルを $F_n(\omega)^{∗}F_m(\omega)$として、 --normalize=ACFオプションを付けた場合にはこれを $\sqrt{|F_n(\omega)|^2|F_m(\omega)|^2}$ で割った値を計算する。元々のクロススペクトルが距離0のクロススペクトル (自己相関関数のフーリエスペクトル) で規格されていない場合に、このオプションを用いることで規格化が行われ、 (\ref{eq.bessel})式の左辺の量が得られる。
The --normalize=ACF option divides the cross spectrum between $n$th and $m$th stations $F_n(\omega)^{∗}F_m(\omega)$ by $\sqrt{|F_n(\omega)|^2|F_m(\omega)|^2}$. This operation normalizes the cross spectrum to obtain the quantity in the left hand side of Eq. (\ref{eq.bessel}) if the original cross spectrum has not been normalized by the cross spectrum at zero distance (the Fourier spectrum of auto correlation functions).

◆動作(Behaviour)

第1引数で指定したディレクトリからパラメータstation_list_fileで指定した観測点リストに従ってクロススペクトルを読み込み、パラメータfreqで指定した周波数に最も近い周波数サンプルにおけるクロススペクトルの値を以下の形式のテキストファイルに出力する。出力ファイルの列の区切りにはタブが用いられる。
Read the cross spectra in the directory specified by the 1st argument refering to the list of stations given by parameter station_list_file. Output the cross spectra at the frequency closest to what was specified by parameter freq into a text file that has the following format. Tabs are used to separate the columns in the output file.

列 Column	値 Value
1	ペアをなす1つ目の観測点コード。 The station code of one station of a station pair.
2	その観測点の成分コード。 The component code of that station.
3	ペアをなす2つ目の観測点コード。 The station code of the other station of the pair.
4	その観測点の成分コード。 The component code of that station.
5	観測点間の水平距離(m)。 The horizontal distance (m) between the stations.
6	観測点間の3次元距離(m)。 The 3-D distance (m) between the stations.
7	クロススペクトルの実部。 The real part of the cross spectrum.
8	クロススペクトルの虚部。 The imaginary part of the cross spectrum.

◆使用例(Example)

cross_spectrum_multi --inputfiles=structural_survey/data/%YYYY/%YY%MM%DD%hh/%STATION.%COMPONENT.sac --trace_list_file=structural_survey/etc/traces.dat --start=2021-01-01.00-00-00 --end=2021-12-31.23-59-59 --outputdir=structural_survey/result2021

cross_spectrum_distance_fixFreq structural_survey/result2021 cross_spectrum_0.2Hz.dat --station_list_file=structural_survey/etc/stations.dat --freq=0.2

ここでstructural_survey/etc/stations.datは例えば以下のようなテキストファイルである。ここで[TAB]はタブを表す。
The file structural_survey/etc/stations.dat in this example is a text file. Below shows an example of this file, where [TAB] indicates a tab.

STN1[TAB]U[TAB]123.4[TAB]567.8[TAB]90.1
STN2[TAB]U[TAB]-2345.6[TAB]7890.1[TAB]234.5
STN3[TAB]wU[TAB]6789.0[TAB]-1234.5[TAB]67.8
STN4[TAB]Z[TAB]901.2[TAB]-3456.7[TAB]89.0
STN5[TAB]BHZ[TAB]-12.3[TAB]-456.7[TAB]890.1

◆数学的背景(Mathematical background)

Aki (1957)によれば、ランダム波動場の空間自己相関関数(SPAC)を距離0のSPACで割った値が観測点間距離のベッセル関数になる。同様のことがクロススペクトルに対しても成り立つことは以下のように確かめられる。
Aki (1957) showed that the spatial autocorrelation (SPAC) of a stochastic wave field, divided by the SPAC value at a zero distance, is a Bessel function of inter-station distances. The same argument holds for the cross spectrum, as shown below.

Aki (1957)では様々な周波数成分を持つ一般的な波動場について SPACの式を導出した上で、最後にその結果を単一の周波数成分のみを持つ特別な場合に当てはめることで SPACがベッセル関数になることを示した。ここでは導出を簡潔にするため、最初から単一の角周波数$\omega=\omega_0$の成分のみを持つ波動場 \[\begin{equation} u(x,y,t;\omega_0)=\int_0^{2\pi}d\theta u_0(\omega_0,\theta) \exp[ik(\omega_0)x\cos\theta+ik(\omega_0)y\sin\theta-i\omega_0 t] \label{eq.u} \end{equation}\] を考える。ここでは水平な地表面に沿って進む表面波を考えており、 $(x,y)$は水平位置、$t$は時刻である。表面波の位相速度は角周波数の関数$c(\omega)$で与えられるものとする。このとき波数の大きさも角周波数の関数となり、 (\ref{eq.u})式ではこれを$k(\omega)\equiv \omega/c(\omega)$ と表している。波動場は様々な方向に進む波の重ね合わせである。 $\theta$は波の進行方向を表し、$x$軸から反時計回りに測るものとする。 $\theta$の方向に進む波の波数ベクトルは $(k(\omega)\cos\theta, k(\omega)\sin\theta, 0)$ であるので、この波の大きさを$u_0(\omega,\theta)$とおけば (\ref{eq.u})式が得られる。
Aki (1957) derived a formula of the SPAC for a general wave field composed of various frequencies, and then applied its result to a special case where the wave field consists of a single frequency to obtain the Bessel function. Here, for simplicity, a wave field composed of a single angular frequency $\omega=\omega_0$ (Eq. \ref{eq.u}) is considered. Eq. (\ref{eq.u}) represents a surface wave that propagates along a horizontal ground surface, where $(x,y)$ is a horizontal coordinate and $t$ is time. The phase velocity of the surface wave is given as a function of the angular frequency $c(\omega)$. The magnitude of the wave number is also a function of the angular frequency, denoted as $k(\omega)\equiv \omega/c(\omega)$ in Eq.(\ref{eq.u}). The wave field is a superposition of elemental waves that propagate to various directions; $\theta$ represents the propagation direction of each elemental wave, measured counterclockwise from the $x$-axis. The wave number vector of this elementary wave is $(k(\omega)\cos\theta, k(\omega)\sin\theta, 0)$ and the amplitude of this wave is denoted as $u_0(\omega,\theta)$.

ランダムな波動場を考えているので$u_0$はランダムな量であるが、 $|u_0|^2$のアンサンブル平均はランダムではなく $\omega_0$, $\theta$の関数で与えられるものとする。これは例えばある周波数の波が強い、ある方向からの波が強いといった波動ソースの性質に関係する。異なる方向からの波は無相関であるものとして \[\begin{equation} \overline{u_0(\omega_0,\theta)^{∗}u_0(\omega_0,\theta’)}= P_d(\omega_0,\theta)\delta(\theta-\theta’) \label{eq.Pd} \end{equation}\] とする。ここで$^{∗}$は複素共役、^—はアンサンブル平均であり、 $P_d(\omega_0,\theta)$は角周波数, 方位ごとの波の強さを表している。方位について平均した波の強さを \[\begin{equation} P(\omega)\equiv \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\theta P_d(\omega_0,\theta) \label{eq.P} \end{equation}\] と表す。
Because a stochastic wave field is considered, $u_0$ is a random variable; however, the ensemble average of $|u_0|^2$ is not random but given as a function of $\omega_0$ and $\theta$. This is related to the nature of the wave source; for example, a strong frequency content or a localized back azimth. The waves from different back azimuths are assumed to be uncorrelated, resulting in Eq. (\ref{eq.Pd}), where $^{∗}$ is a complex conjugate and ^— denotes an ensemble average. $P_d(\omega_0,\theta)$ is the intensity of the wave for each angular frequency and azimuth. The power of the wave averaged over the azimuth is given by Eq. (\ref{eq.P}).

$\psi$の方向に距離$r$だけ離れた2観測点間の波形の相互相関関数は \[\begin{equation} CCF_{2D}(r,\psi,\tau;\omega_0)\equiv \overline{u(x,y,t;\omega_0)u(x+r\cos\psi,y+r\sin\psi,t+\tau;\omega_0)} \label{eq.CCF_2D} \end{equation}\] で与えられる。 (\ref{eq.CCF_2D})式で$\tau=0$とおいた量がSPACである。 (\ref{eq.u})式およびその複素共役 \[\begin{equation} u(x,y,t;\omega_0)=\int_0^{2\pi}d\theta u_0(\omega_0,\theta)^{∗} \exp[-ik(\omega_0)x\cos\theta-ik(\omega_0)y\sin\theta+i\omega_0 t] \label{eq.u.conjugate} \end{equation}\] を(\ref{eq.CCF_2D})に代入し、(\ref{eq.Pd})式を用いて変形すると \[\begin{eqnarray} CCF_{2D}(r,\psi,\tau;\omega_0) &=& \overline{ \int_0^{2\pi}d\theta u_0(\omega_0,\theta)^{∗} \exp[-ik(\omega_0)x\cos\theta-ik(\omega_0)y\sin\theta+i\omega_0 t] } \nonumber \\ & & \overline{ \int_0^{2\pi}d\theta’ u_0(\omega_0,\theta’) \exp\left[ik(\omega_0)(x+r\cos\psi)\cos\theta’\right. } \nonumber \\ & & \overline{ \left.+ik(\omega_0)(y+r\sin\psi)\sin\theta’ -i\omega_0(t+\tau)\right] } \nonumber \\ &=& \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{2\pi}d\theta’ \overline{u_0(\omega_0,\theta)^{∗}u_0(\omega_0,\theta’)} \nonumber \\ & & \exp[-ik(\omega_0)x\cos\theta-ik(\omega_0)y\sin\theta+i\omega_0 t] \nonumber \\ & & \exp\left[ik(\omega_0)(x+r\cos\psi)\cos\theta’ +ik(\omega_0)(y+r\sin\psi)\sin\theta’\right. \nonumber \\ & & \left.-i\omega_0(t+\tau)\right] \nonumber \\ &=& \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{2\pi}d\theta’ P_d(\omega_0,\theta)\delta(\theta-\theta’) \nonumber \\ & & \exp[-ik(\omega_0)x\cos\theta-ik(\omega_0)y\sin\theta+i\omega_0 t] \nonumber \\ & & \exp\left[ik(\omega_0)(x+r\cos\psi)\cos\theta’ +ik(\omega_0)(y+r\sin\psi)\sin\theta’\right. \nonumber \\ & & \left.-i\omega_0(t+\tau)\right] \nonumber \\ &=& \int_0^{2\pi}d\theta P_d(\omega_0,\theta) \nonumber \\ & & \exp[-ik(\omega_0)x\cos\theta-ik(\omega_0)y\sin\theta+i\omega_0 t] \nonumber \\ & & \exp\left[ik(\omega_0)(x+r\cos\psi)\cos\theta +ik(\omega_0)(y+r\sin\psi)\sin\theta\right. \nonumber \\ & & \left.-i\omega_0(t+\tau)\right] \nonumber \\ &=& \int_0^{2\pi}d\theta P_d(\omega_0,\theta) \nonumber \\ & & \exp[ik(\omega_0)r\cos\psi\cos\theta +ik(\omega_0)r\sin\psi\sin\theta -i\omega_0\tau] \label{eq.CCF_2D.result} \end{eqnarray}\] となり、これを更に観測点間方位$\psi$について平均すると \[\begin{eqnarray} CCF(r,\tau;\omega_0) &\equiv& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\psi CCF_{2D}(r,\psi,\tau;\omega_0) \nonumber \\ &=& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\psi \int_0^{2\pi}d\theta P_d(\omega_0,\theta) \nonumber \\ & & \exp[ik(\omega_0)r\cos\psi\cos\theta +ik(\omega_0)r\sin\psi\sin\theta -i\omega_0\tau] \nonumber \\ &=& \frac{1}{2\pi}\exp(-i\omega_0\tau) \int_0^{2\pi}d\theta P_d(\omega_0,\theta) \int_0^{2\pi}d\psi \exp[ik(\omega_0)r\cos(\psi-\theta)] \nonumber \\ &=& \frac{1}{2\pi}\exp(-i\omega_0\tau) \int_0^{2\pi}d\theta P_d(\omega_0,\theta) \cdot 2\pi J_0(k(\omega_0)r) \nonumber \\ &=& J_0(k(\omega_0)r)\exp(-i\omega_0\tau) \int_0^{2\pi}d\theta P_d(\omega_0,\theta) \nonumber \\ &=& 2\pi J_0(k(\omega_0)r)\exp(-i\omega_0\tau)P(\omega_0) \label{eq.CCF} \end{eqnarray}\] となる。最後の等式には(\ref{eq.P})を用いた。
The cross correlation function (CCF) between the waveforms at two stations that are apart by distance $r$ and azimuth $\psi$ is given by Eq. (\ref{eq.CCF_2D}). The SPAC is obtained by letting $\tau=0$ in Eq. (\ref{eq.CCF_2D}). Inserting Eq. (\ref{eq.u}) and its complex conjugate (Eq. \ref{eq.u.conjugate}) into Eq. (\ref{eq.CCF_2D}) and using Eq. (\ref{eq.Pd}) yield (\ref{eq.CCF_2D.result}). Averaging it over the inter-station azimuth $\psi$ gives Eq. (\ref{eq.CCF}), where Eq. (\ref{eq.P}) is used for the last equility.

クロススペクトルは相互相関関数のフーリエ変換であるので (\ref{eq.CCF})式を用いて \[\begin{eqnarray} C(r,\omega;\omega_0) &\equiv& \int_{-\infty}^{\infty}d\tau CCF(r,\tau;\omega_0)\exp(i\omega\tau) \nonumber \\ &=& 2\pi J_0(k(\omega_0)r)P(\omega_0) \int_{-\infty}^{\infty}d\tau \exp[i(\omega-\omega_0)\tau] \nonumber \\ &=& 4\pi^2 J_0(k(\omega_0)r)P(\omega_0)\delta(\omega-\omega_0) \label{eq.cross_spectrum} \end{eqnarray}\] と計算できる。これより \[\begin{equation} \frac{C(r,\omega;\omega_0)}{C(0,\omega;\omega_0)} =\frac{J_0(k(\omega_0)r)}{J_0(0)} =J_0(k(\omega_0)r) \label{eq.C_ratio} \end{equation}\] となって(\ref{eq.bessel})式が得られる。 (\ref{eq.bessel})式から分かるように、ベッセル関数になることが期待されるのはクロススペクトル自体ではなく、クロススペクトルを距離0のクロススペクトル (自己相関関数のフーリエスペクトル)で割った値である。
The cross spectrum is the Fourier transformation of the CCF and calculated from Eq. (\ref{eq.CCF}) as Eq. (\ref{eq.cross_spectrum}). From this, the Bessel function is obtained as Eq. (\ref{eq.C_ratio}), which is equivalent as (\ref{eq.bessel}). Therefore, the Bessel function is expected not for the cross spectrum $C(r,\omega;\omega_0)$ but for the ratio $C(r,\omega;\omega_0)/C(0,\omega;\omega_0)$.

◆謝辞 (Acknowledgements)

このプログラムの開発・テストは浅井岬氏(名古屋大学理学部; 2023年12月現在) と共同で行った。
This program was developed and tested as a cooperative work with Misaki Asai (School of Science, Nagoya University; as of December 2023).

◆引用文献(References)

Aki K (1957) Space and time spectra of stationary stochastic waves, with special reference to microtremors. Bull Earthq Res Inst 35(3):415-456.

cross_spectrum_distance_fixFreqコマンド マニュアル